2008-湖北卷理-11 填-复数

本题导读

本题考查复数的代数形式运算。通过设出未知复数的代数形式，利用共轭复数的定义展开并代入已知实部，即可求得其虚部。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 设 $z_1$ 是复数，$z_2=z_1-i{\bar{z}}_1$（其中 ${\bar{z}}_1$ 表示 $z_1$ 的共轭复数），已知 $z_2$ 的实部是 $-1$，则 $z_2$ 的虚部为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $z_1=x+yi$（$x,y\in \mathbf{R}$），对应的共轭复数为 ${\bar{z}}_1=x-yi$。
2. 将其代入 $z_2$ 的表达式中，利用 $i^2=-1$ 化简出 $z_2$ 的实部和虚部。
3. 结合实部为 $-1$ 得到关于 $x,y$ 的方程，进而确定虚部的具体数值。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z_1=x+yi$（$x,y\in \mathbf{R}$），则 ${\bar{z}}_1=x-yi$。 代入已知递推式可得： $z_2=(x+yi)-i(x-yi)=x+yi-xi+y{i}^2$ 因为 $i^2=-1$，所以： $z_2=x+yi-xi-y=(x-y)+(y-x)i$

由题意，$z_2$ 的实部是 $-1$， 即 $x-y=-1$。 则 $z_2$ 的虚部为： $y-x=-(x-y)=-(-1)=1$

正确答案为：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数 $z=a+bi$ 的实部为 $a$，虚部为 $b$；共轭复数实部相同虚部相反。
2. 核心方法：复数代数式求值常用的设元法（设 $z=x+yi$ 转化为实数方程组）。
3. 避坑指南：计算 $-i(-yi)$ 时符号容易出错，$-i(-yi)=y{i}^2=-y$；注意虚部不包含单位虚数 $i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材复数计算章节中关于共轭复数运算性质的基础题。
2. 结论推广: 对于任意复数 $z=x+yi$，复数 $W=z-i\bar{z}$ 的实部与虚部恒互为相反数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数