2008-湖北卷理-14 填-等差数列

本题导读

本题巧妙地将等差数列的对称性质与指数、对数的运算结合起来，考查对数列整体求和公式的灵活变形能力。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)）已知函数 $f (x) = 2^{x}$ , 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 2. 若 $f (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}) = 4$ , 则 $lo g_{2} [f (a_{1}) \cdot f (a_{2}) \cdot f (a_{3}) \dots \cdot f (a_{10})] =$ .

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由条件 $f (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}) = 4$ 转化为指数方程，求出偶数项之和。

将目标对数式化简为等差数列前 10 项的和 $S_{10}$ 。

利用等差数列的邻项差值关系，建立前 10 项和与偶数项和之间的数量联系，直接求值。

✅【答案】

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$- 6$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}) = 4$ 得： $2^{a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}} = 2^{2} ⟹ a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} = 2$

所求目标式变形为： $lo g_{2} [f (a_{1}) \cdot f (a_{2}) \dots f (a_{10})] = lo g_{2} [2^{a_{1}} \cdot 2^{a_{2}} \dots 2^{a_{10}}] = lo g_{2} [2^{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}}] = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}$

记 $S_{10} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}$ 。将前 10 项分为奇数项和与偶数项和： $S_{10} = (a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9}) + (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10})$

因为 ${a_{n}}$ 是公差 $d = 2$ 的等差数列，所以： $a_{1} = a_{2} - d, a_{3} = a_{4} - d, a_{5} = a_{6} - d, a_{7} = a_{8} - d, a_{9} = a_{10} - d$ 两边相加得： $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} = (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}) - 5 d$

代入 $S_{10}$ 表达式中得： $S_{10} = 2 (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}) - 5 d$ 代入已知数据 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} = 2$ 和 $d = 2$ ： $S_{10} = 2 \times 2 - 5 \times 2 = 4 - 10 = - 6$

正确答案为：-6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的奇偶项和的关系；对数的性质 $lo g_{a} (u \cdot v) = lo g_{a} u + lo g_{a} v$ 。

核心方法：奇偶项分离整体代换法，避免具体解出首项 $a_{1}$ 的繁琐过程。

避坑指南：常规解法中通过列方程组去算 $a_{1}$ 容易出现分数计算失误，善用 $S_{奇} = S_{偶} - n d$ 可以极大地提高解题速度与准确率。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题由等差数列基本性质与基本初等函数的运算性质复合而成，是一道考查结构化思维的优秀填空题。

结论推广: 若等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，前 $2 n$ 项和为 $S_{2 n}$ ，偶数项和为 $S_{偶}$ ，则有通用关系式 $S_{2 n} = 2 S_{偶} - n d$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

2010-浙江卷文-21 解-三次函数与等差数列

2012-四川卷理-12 单-等差数列与函数

2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项

∑ ( Math )

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2008-湖北卷理-14 填-等差数列

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