2008-湖北卷理-16 解-三角函数

本题导读

本题考查三角恒等变换与正弦型函数性质的综合应用。解题关键在于根据给定的自变量区间判断三角函数的正负号，从而对根式进行去绝对值化简，再利用辅助角公式与三角函数的单调性求解值域。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 已知函数 $f(t)=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$，$g(x)=\cos x\cdot f(\sin x)+\sin x\cdot f(\cos x)$，$x\in \left(\pi ,\frac{17\pi }{12}\right]$.

(1)将函数 $g(x)$ 化简成 $A\sin (\omega x+\phi )+B$（$A>0,\omega >0,\phi \in [0,2\pi )$）的形式；

(2)求函数 $g(x)$ 的值域.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：根据 $x\in \left(\pi ,\frac{17\pi }{12}\right]$ 确定 $x$ 处于第三象限，得到 $\sin x<0$ 且 $\cos x<0$。
2. 第二步：利用同角三角函数平方关系将 $f(\sin x)$ 和 $f(\cos x)$ 的根式分子有理化，结合绝对值的几何意义去掉根号。
3. 第三步：代入 $g(x)$ 进行约分化简，利用辅助角公式化为标准式。
4. 第四步：由 $x$ 的范围求出复合角 $x+\frac{\pi }{4}$ 的范围，结合正弦图象确定函数的值域。

✅【答案】

点击查看答案

所以𝐴= √2，𝜔= 1，𝜑= π4，𝐵= −2

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为 $x\in \left(\pi ,\frac{17\pi }{12}\right]$，所以 $x$ 为第三象限角， 由此可得：$\sin x<0$，$\cos x<0$。

对 $f(\sin x)$ 进行化简： $f(\sin x)=\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}=\sqrt{\frac{(1-\sin x{)}^2}{(1+\sin x)(1-\sin x)}}=\sqrt{\frac{(1-\sin x{)}^2}{{\cos }^{2}x}}=\frac{1-\sin x}{|\cos x|}$ 因为 $\cos x<0$，所以 $|\cos x|=-\cos x$， 故 $f(\sin x)=\frac{1-\sin x}{-\cos x}$。

同理对 $f(\cos x)$ 进行化简： $f(\cos x)=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{(1+\cos x)(1-\cos x)}}=\sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{{\sin }^{2}x}}=\frac{1-\cos x}{|\sin x|}$ 因为 $\sin x<0$，所以 $|\sin x|=-\sin x$， 故 $f(\cos x)=\frac{1-\cos x}{-\sin x}$。

将上述结果代入 $g(x)$ 的表达式中： $g(x)=\cos x\cdot \left(\frac{1-\sin x}{-\cos x}\right)+\sin x\cdot \left(\frac{1-\cos x}{-\sin x}\right)$ $g(x)=-(1-\sin x)-(1-\cos x)=\sin x+\cos x-2$

利用辅助角公式逆向化简得： $g(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-2$

(2) 因为 $x\in \left(\pi ,\frac{17\pi }{12}\right]$， 所以 $x+\frac{\pi }{4}\in \left(\pi +\frac{\pi }{4},\frac{17\pi }{12}+\frac{3\pi }{12}\right]=\left(\frac{5\pi }{4},\frac{5\pi }{3}\right]$。

结合正弦函数 $y=\sin \theta$ 在区间 $\theta \in \left(\frac{5\pi }{4},\frac{5\pi }{3}\right]$ 上的图象性质：

• 当 $x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$ 时，正弦函数取得最小值 $-1$；
• 在左端点（开区间）处，$\sin \left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；在右端点（闭区间）处，$\sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由于 $-\frac{\sqrt{2}}{2}>-\frac{\sqrt{3}}{2}$，故正弦函数的取值范围为： $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

从而可得： $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-\sqrt{2},-1\right)$ $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-2\in \left[-2-\sqrt{2},-3\right)$

故函数 $g(x)$ 的值域为 $\left[-2-\sqrt{2},-3\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代数式 $\sqrt{A^2}=|A|$ 的去绝对值法则；利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 进行单三角名化简。
2. 核心方法：区间符号锁定法。在做包含根式的三角函数题时，必须第一时间盯着自变量的区间，以此决定符号。
3. 避坑指南：第一问去根号时极易漏掉绝对值符号，从而直接约分错解为 $g(x)=2-\sin x-\cos x$；第二问求最值时，由于区间两端点均位于第三、四象限，必须结合图象观察出其能够包含最低点 $\frac{3\pi }{2}$，且对比两个端点值的大小来准确切出半开半闭的值域区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是三角函数恒等变换与函数性质的大题，通过引入分式复合根号的外壳，加大了对基本功（符号处理、绝对值开方）的考查力度。
2. 结论推广: 对于函数 $y=\cos x\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}+\sin x\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$，在第一象限其化简结果为 $2-\sin x-\cos x$；在第三象限其结果则反转为 $\sin x+\cos x-2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数