2008-湖北卷理-20 解-导数

本题导读

本题是一道结合水库蓄水量变化的实际应用题。第一问通过建立分段不等式求解枯水期对应的月份区间；第二问利用微积分导数工具与二次函数性质分别求出各子区间内的最大值，通过对比给出全年的最大蓄水量。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 水库的蓄水量随时间而变化. 现用 $t$ 表示时间, 以月为单位, 年初为起点. 根据历年数据, 某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 $t$ 的近似函数关系式为： $V(t)=\{\begin{array}{ll}(-t^2+14t-40){\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}t}+50,& 0<t\le 10\\ 4(t-10)(3t-41)+50,& 10<t\le 12\end{array}$

(1)该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期. 以 $i-1<t<i$ 表示第 $i$ 月份 ($i=1,2,\dots ,12$)，同一件内哪几个月份是枯水期？

(2)求一年内该水库的最大蓄水量（取 $\mathrm{e}=2.7$ 计算）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：令分段解析式 $V(t)<50$。分别在 $0<t\le 10$ 和 $10<t\le 12$ 两个区间内求解不等式，将得到的 $t$ 范围拆解映射到对应的自然月份。
2. 第二问：在 $0<t\le 10$ 内，对复合函数进行求导，求出驻点，利用导数符号判定出极大值（即最大值）；在 $10<t\le 12$ 内，利用二次函数轴的单调性求出该段的最大值。最后将两段的最大值进行数值大小比对。

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同一周期内，第 1, 2, 3, 4, 11, 12 月份是枯水期

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 根据题意，枯水期即满足 $V(t)<50$ 的时间段。

• 当 $0<t\le 10$ 时： $(-t^2+14t-40){\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}t}+50<50⟹(-t^2+14t-40){\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}t}<0$ 因为 ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}t}>0$ 恒成立，所以有： $-t^2+14t-40<0⟹t^2-14t+40>0⟹(t-4)(t-10)>0$ 解得 $t<4$ 或 $t>10$。结合当前区间范围，得到：$0<t<4$。 对应的月份区间有 $0<t<1,1<t<2,2<t<3,3<t<4$，即第 1, 2, 3, 4 月份。

• 当 $10<t\le 12$ 时： $4(t-10)(3t-41)+50<50⟹4(t-10)(3t-41)<0$ 由于 $10<t\le 12$，可知 $t-10>0$ 恒成立，则必有： $3t-41<0⟹t<\frac{41}{3}\approx 13.67$ 因为整个区间 $(10,12]$ 均满足 $t<13.67$，故在此段内 $V(t)<50$ 恒成立。 对应的月份区间有 $10<t<11,11<t<12$，即第 11, 12 月份。

综上所述，同一周期内，第 1, 2, 3, 4, 11, 12 月份是枯水期。

(2)解： 分段探究函数 $V(t)$ 的最大值：

• 当 $0<t\le 10$ 时，对 $V(t)$ 进行求导： $V^{\prime }(t)=(-2t+14){\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}t}+(-t^2+14t-40)\cdot \frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}t}$ $=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}t}[4(-2t+14)+(-t^2+14t-40)]=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}t}(-t^2+6t+16)$ 令 $V^{\prime }(t)=0⟹-t^2+6t+16=0⟹(t-8)(t+2)=0$。 因为 $0<t\le 10$，解得唯一驻点 $t=8$。 当 $0<t<8$ 时，$V^{\prime }(t)>0$，$V(t)$ 单调递增；当 $8<t\le 10$ 时，$V^{\prime }(t)<0$，$V(t)$ 单调递减。 故当 $t=8$ 时，$V(t)$ 取得该区间内的最大值： $V(8)=(-8^2+14\times 8-40){\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}\times 8}+50=8{\mathrm{e}}^2+50$ 将 $\mathrm{e}\approx 2.7$ 代入计算： $V(8)\approx 8\times (2.7{)}^2+50=8\times 7.29+50=58.32+50=108.32\text{（亿立方米）}$

• 当 $10<t\le 12$ 时，函数可展开为 $V(t)=12t^2-284t+1690$。 该二次函数的对称轴为 $t=\frac{284}{24}=\frac{71}{6}\approx 11.83\in (10,12]$。 在区间 $(10,11.83)$ 内函数单调递减，在 $(11.83,12]$ 内单调递增。 其最大值必在端点 $t=10$ 或 $t=12$ 处取得。 $V(10)=50,V(12)=4\times (12-10)\times (3\times 12-41)+50=-40+50=10$ 故该区间的最大值小于 50。

对比两个分段区间的最大值，因为 $108.32>50$， 所以，一年内该水库的最大蓄水量为 108.32 亿立方米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数最值的统筹比对法；乘积形式复合函数的导数运算法则。
2. 核心方法：微积分最值应用。利用 $V^{\prime }(t)=0$ 锁定极值点，再通过单调性排除端点干扰。
3. 避坑指南：第(1)问需要注意题目对“月份”的定义是 $i-1<t<i$，算出来 $0<t<4$ 后，需要准确翻译成 1、2、3、4 这四个完整的月份，千万不要遗漏；第(2)问进行数值约算时，注意平方先算（$(2.7{)}^2=7.29$），保持小数精度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题取材于民生与生态环境中的水利工程蓄水量控制模型，是典型的将高等微积分导数工具引入解决实际应用优化问题的高考常规大题。
2. 结论推广: 针对形如 $f(x)=P(x){\mathrm{e}}^{kx}+C$ 的函数，其一阶导数中指数项不影响正负变化，其极值点的分布情况和单调性轨迹完全由多项式 $P^{\prime }(x)+kP(x)$ 的零点分布所决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式