2008-湖南卷文-13 填-二项式系数比定n

本题导读

$b_3={\mathrm{C}}_n^2{2}^{n-2}$，$b_4={\mathrm{C}}_n^3{2}^{n-3}$；$b_3=2b_4$ 化为 ${\mathrm{C}}_n^2={\mathrm{C}}_n^3$，$n=5$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 记 ${\left(2x+\frac{1}{x}\right)}^n$ 的展开式中第 $m$ 项的系数为 $b_m$，若 $b_3=2b_4$，则 $n=$　　　.

🔍【思路分析】

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第 $m$ 项 $T_m={\mathrm{C}}_n^{m-1}(2x{)}^{n-m+1}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{m-1}$，系数含 $2^{n-m+1}$；相等关系两边同除 $2^{n-2}$ 后用组合数相等.

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

第 $3$ 项：$T_3={\mathrm{C}}_n^2(2x{)}^{n-2}{\left(\frac{1}{x}\right)}^2$，$b_3={\mathrm{C}}_n^2{2}^{n-2}$； 第 $4$ 项：$T_4={\mathrm{C}}_n^3(2x{)}^{n-3}{\left(\frac{1}{x}\right)}^3$，$b_4={\mathrm{C}}_n^3{2}^{n-3}$. 由 $b_3=2b_4$：${\mathrm{C}}_n^2{2}^{n-2}=2{\mathrm{C}}_n^3{2}^{n-3}={\mathrm{C}}_n^3{2}^{n-2}$，故 ${\mathrm{C}}_n^2={\mathrm{C}}_n^3$. $\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$，$n⩾3$ 时约去 $\frac{n(n-1)}{2}$ 得 $1=\frac{n-2}{3}$，$n=5$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的系数关系

核心方法：写通项定系数表达式，把 $b_3=2b_4$ 化为组合数方程

避坑指南：第 $m$ 项的二项式指数是 $m-1$（$T_m$ 不是 $T_{m+1}$）；两边 $2$ 的幂次统一后再约，${\mathrm{C}}_n^2={\mathrm{C}}_n^3$ 解出 $n=5$ 别忘验证 $n⩾3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数的比例关系题

结论推广：通项公式定系数，比例条件化为组合数方程

方法推广：系数含 $2^{n-m+1}$ 时，两个系数相除或相等可先约去公幂次，减少指数运算

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