2008-湖南卷文-16 解-面试签约概率

本题导读

(1)$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$；(2)$\frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约. 甲表示只要面试合格就签约. 乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$，且面试是否合格互不影响. 求：

(1)至少有 $1$ 人面试合格的概率；

(2)没有人签约的概率.

🔍【思路分析】

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(1)“至少 $1$ 人合格”的对立是”三人都不合格”；(2)没人签约 $\Rightarrow$ 甲不合格（否则甲必签），且乙丙不能都合格.

✅【答案】

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(1)$\frac{7}{8}$；(2)$\frac{3}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)三人各自面试合格的概率均为 $\frac{1}{2}$ 且互不影响，三人均未面试合格的概率为${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$，所以至少有 $1$ 人面试合格的概率为 $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. (2)没有人签约时，甲必须面试不合格，且乙、丙不能同时面试合格. 由相互独立性，所求概率为 $\frac{1}{2}\times \left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]=\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与对立事件

核心方法：“至少一个”用 $1-P(\text{全不})$；“没人签约”分解为甲不合格且乙丙不同时合格

避坑指南：乙丙”都合格才一起签”，不同时合格的概率是 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ 而不是 $\frac{1}{4}$；两问的事件结构要分别画清楚

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：概率应用题（招聘签约情境，三段式决策）

结论推广：独立事件乘法 + 对立事件加法的组合运用

方法推广：把”签约规则”翻译成事件条件是第一步：甲无条件签、乙丙捆绑签；没人签约的事件结构画树状图最清晰

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-17 解-独立事件概率
• 2010-湖南卷文-17 解-分层抽样与概率
• 2014-湖南卷文-17 解-统计概率
• 2009-湖北卷文-12 填-独立事件概率