2009-湖北卷文-12 填-独立事件概率

本题导读

考查独立事件。都达标 $0.8\times 0.6\times 0.5=0.24$；至少一人达标 $1-0.2\times 0.4\times 0.5=0.96$。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是 $0.8$、$0.6$、$0.5$，则三人都达标的概率是 $\underline{}$，三人中至少有一人达标的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 三人都达标：各事件相互独立，$0.8\times 0.6\times 0.5=0.24$。
2. 至少有一人达标，对立事件为三人都不达标：$0.2\times 0.4\times 0.5=0.04$。
3. 所求概率 $1-0.04=0.96$。

✅【答案】

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$0.24$；$0.96$

✍【详细解析】

Abstract

设甲、乙、丙达标分别为事件 $A$，$B$，$C$，三者相互独立。 三人都达标：$P(ABC)=0.8\times 0.6\times 0.5=0.24$。 “三人中至少有一人达标”的对立事件是”三人都不能达标”， $P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=0.2\times 0.4\times 0.5=0.04$， 故所求概率为 $1-0.04=0.96$。 （注：部分资料将本空误作 $0.76=1-0.24$，系把对立事件错当”三人全达标”所致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与对立事件

核心方法：乘法公式 + 对立事件 $1-P(\text{全不达标})$

避坑指南：都达标 $0.24$；都不达标 $0.2\times 0.4\times 0.5=0.04$；至少一人达标 $0.96$。注意 $1-0.24=0.76$ 是错误的”对立事件”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“至少一个发生”的对立事件是”全都不发生”，不是”全都发生”。

结论推广：独立事件积的概率直接相乘，互补事件概率和为 $1$，两套公式别混用。

方法推广：做完代回检验：$0.96>0.24$，“至少一个”概率必须大于”全部”概率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率
• 2009-山东卷文-19 解-分层抽样与概率