2008-湖南卷理-11 填-函数

本题导读

本题考查函数在特定点处的极限计算。核心意图是通过对分母多项式进行因式分解，消除导致“$\frac{0}{0}$”型不定式的零因子，从而直接代入求值。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2+3x-4}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察发现当 $x\to 1$ 时，分子与分母同时趋近于 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型极限。
2. 对分母进行因式分解，消去公共零因子 $x-1$ 后直接求得极限值。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

对分母的一元二次多项式进行因式分解： $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$

代入原极限式中： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2+3x-4}={\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+4)}$

由于 $x\to 1$ 且 $x\ne 1$，可以约去分子分母中的公共零因子 $(x-1)$ 得： ${\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x+4}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$

正确答案为：$\frac{1}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：初等函数极限的常规代数约简；零因子的识别与消除。
2. 核心方法：因式分解消元法。
3. 避坑指南：千万不要在未化简时直接将 $x=1$ 代入分母导致出现分母为 0 的错误；约简后要正确代入，不可漏算常数项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于微积分初步中关于极限定义的课后练习题，是高等数学中极限求法的简化版。
2. 结论推广: 对于任意 $\frac{0}{0}$ 型有理分式极限 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{P(x)}$，若 $P(x_0)=0$，则极限值恒等于 $\frac{1}{P^{\prime }(x_0)}$（此即洛必达法则的初等体现）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项