2008-福建卷文-04 单-奇函数求值

本题导读

$x^3$ 与 $\sin x$ 都是奇函数，二者之和仍为奇函数；把 $f(x)$ 拆成”奇函数 $+1$“，利用 $f(a)=2$ 整体求 $f(-a)$，无需解出 $a$.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 函数 $f(x)=x^3+\sin x+1$（$x\in \mathbf{R}$），若 $f(a)=2$，则 $f(-a)$ 的值为()

A. 3　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

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令 $g(x)=x^3+\sin x$，则 $g$ 为奇函数且 $g(a)=f(a)-1=1$，故 $f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0$.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=x^3+\sin x$，其定义域关于原点对称，且 $g(-x)=-x^3-\sin x=-g(x)$，故 $g$ 是奇函数. 由 $f(a)=2$ 得 $g(a)+1=2$，即 $g(a)=1$. 于是 $f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-1+1=0$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数奇偶性的整体代换

核心方法：拆出奇函数部分，f(a) 与 f(-a) 配对相加

避坑指南：不必（也常常不能）解出 $a$ 的值；$x^3$ 与 $\sin x$ 均为奇函数这一结构是关键，常数 $+1$ 只平移不改奇偶配对

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数配常数求值是函数奇偶性的经典题型（2010 山东文 5、2011 安徽文 11）

结论推广：推广到 $f(x)=g(x)+c$（$g$ 为奇函数）时 $f(a)+f(-a)=2c$ 的定值结论

方法推广：“整体代换、不解参数”是处理抽象值问题的第一反应

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值
• 2011-安徽卷文-11 填-奇函数求值
• 2011-湖南卷文-12 填-奇函数求值
• 2012-上海卷文-09 填-奇函数求值