2008-福建卷文-08 单-余弦定理求角

本题导读

$a^2+c^2-b^2=\sqrt{3}ac$ 与余弦定理分子同构，除以 $2ac$ 即得 $\cos B$；三角形内角限定 $B\in (0,\pi )$，无需讨论两解.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，若 $a^2+c^2-b^2=\sqrt{3}ac$，则角 $B$ 的值为()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$　　　　　D. $\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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由余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $0<B<\pi$，得 $B=\frac{\pi }{6}$.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理， $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{\sqrt{3}ac}{2ac}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 因为 $B$ 是三角形内角，$0<B<\pi$，所以 $B=\frac{\pi }{6}$，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理与三角形内角

核心方法：凑出 $\cos B$ 的分子结构，直接比值求角

避坑指南：$$\begin{gathered} cosB= \\ frac \\ sqrt32 \end{gathered}$$ 在 $$\begin{gathered} (0, \\ pi) \end{gathered}$$ 内只有一解 $$\begin{gathered} frac \\ pi6 \end{gathered}$$；看到选项里有双解组合时，用内角范围排除即可，不必画图

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理求角是解三角形最基础的考法（2010 山东文 15）

结论推广：条件改写为 $a^2+c^2-b^2=kac$ 时，$\cos B=\frac{k}{2}$，$k$ 的范围决定角的个数

方法推广：见到边的平方差结构立即联想余弦定理分子

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2010-北京卷文-10 填-余弦定理求边
• 2010-山东卷文-15 填-解三角形求角
• 2010-大纲卷II文-17 解-解三角形求边
• 2010-新课标卷文-16 填-余弦定理求边