2010-新课标卷文-16 填-余弦定理求边

本题导读

考查余弦定理。$A{B}^2=x^2+2x+2$，$A{C}^2=4x^2-4x+2$，由 $A{C}^2=2A{B}^2$ 得 $x^2-4x-1=0$，$BD=2+\sqrt{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 边上一点，$BC=3BD$，$AD=\sqrt{2}$，$\angle ADB=135^{\circ }$.若 $AC=\sqrt{2}AB$，则 $BD=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 设 $BD=x$，则 $DC=2x$，$\angle ADC=45^{\circ }$。
2. $△ABD$：$A{B}^2=2+x^2-2\sqrt{2}x\cos 135^{\circ }=x^2+2x+2$。
3. $△ACD$：$A{C}^2=2+4x^2-4\sqrt{2}x\cos 45^{\circ }=4x^2-4x+2$。
4. $A{C}^2=2A{B}^2$：$4x^2-4x+2=2x^2+4x+4$，$x^2-4x-1=0$。
5. $x=2+\sqrt{5}$（舍负）。

✅【答案】

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$2+\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $BD=x$，由 $BC=3BD$ 得 $DC=2x$，且 $\angle ADC=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$。 在 $△ABD$ 中，由余弦定理， $A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2-2\cdot AD\cdot BD\cos 135^{\circ }=2+x^2+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}x=x^2+2x+2.$ 在 $△ACD$ 中， $A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2-2\cdot AD\cdot DC\cos 45^{\circ }=2+4x^2-4x.$ 由 $AC=\sqrt{2}AB$，即 $A{C}^2=2A{B}^2$，得 $4x^2-4x+2=2(x^2+2x+2)⟺x^2-4x-1=0,$ 解得 $x=2+\sqrt{5}$（负根舍去），即 $BD=2+\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理解三角形

核心方法：两个三角形分别列余弦定理，用 $AC=\sqrt{2}AB$ 联立

避坑指南：$\angle ADB$ 与 $\angle ADC$ 互补，$\cos 45^{\circ }$ 与 $\cos 135^{\circ }$ 差一个负号，两式别套同一个角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：公共边 $AD$ 是联系两个三角形的桥梁，$BC=3BD$ 给出 $DC=2BD$。

结论推广：线段上一点分三角形为二，两三角形在分点处的角互补，这是”爪形图”的基本性质。

方法推广：设 $BD=x$ 把全部条件代数化，最终化为一元二次方程，舍负根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2011-新课标卷文-15 填-余弦定理与面积
• 2012-陕西卷文-13 填-余弦定理解三角形