2008-福建卷文-11 单-导数图象判定

本题导读

先读 $y=f(x)$ 的单调性：增、减、增的分界；导函数 $f^{\prime }(x)$ 的正负必须与之对应，再结合极值点处 $f^{\prime }=0$ 与图象过原点等细节排除.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 如果函数 $y=f(x)$ 的图象如下图，那么导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象可能是()

🔍【思路分析】

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原图象沿 $x$ 轴从左到右：先增后减再增，且分界点一个在原点左侧、一个恰在原点；对应 $f^{\prime }(x)$ 应先正后负再正，零点位置与原图拐点一致，只有 A 吻合.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=f(x)$ 的图象：在 $(-\infty ,x_1)$ 上递增，在 $(x_1,0)$ 上递减，在 $(0,+\infty )$ 上递增，其中 $x_1<0$ 为极大值点，$x=0$ 处取得极小值. 故导函数应满足：$f^{\prime }(x)$ 在 $(-\infty ,x_1)$ 为正，在 $(x_1,0)$ 为负，在 $(0,+\infty )$ 为正，且 $f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(0)=0$. 选项 A 的图象：$x$ 轴上方、下方、上方依次出现，零点一个在原点左侧、一个恰在原点，与上述完全对应. B 的正负顺序不符，C 恒非负缺少负值段，D 的零点位置不符，故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与原函数图象的对应

核心方法：原图读单调性 ⟹ 导函数读正负性，抓零点位置与符号区间

避坑指南：导函数图象的”高低”没有意义，只有正负有意义；极值点两侧导数变号，选项中零点个数多于两个的直接排除

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：原函数图象与导函数图象的对应是导数概念题（2009 湖南文 7）

结论推广：可推广到二阶导：原图拐点对应导函数极值点

方法推广：只抓三件事：增减区间、极值点位置、导数零点，其余细节忽略

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-07 单-导数图象凹凸
• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象
• 2010-安徽卷文-06 单-二次函数图象符号