2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象

本题导读

考查三次函数图象。$x=a$ 处相切不穿、$x=b$ 处穿过，两端 $x\to -\infty$ 时 $y\to -\infty$、$x\to +\infty$ 时 $y\to +\infty$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 设 $a<b$，函数 $y=(x-a{)}^2(x-b)$ 的图象可能是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x=a$ 是二重根：图象在 $x=a$ 处与 $x$ 轴相切而不穿过。
2. $x=b$ 是单根：图象在 $x=b$ 处穿过 $x$ 轴。
3. 首项系数为正：$x\to -\infty$ 时 $y\to -\infty$，$x\to +\infty$ 时 $y\to +\infty$。逐项对照四图。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数可写为 $y=(x-a{)}^2(x-b)$。因为 $a$ 是二重根，图象在 $x=a$ 处与 $x$ 轴相切而不穿过； 因为 $b$ 是单根，图象在 $x=b$ 处穿过 $x$ 轴。 又函数是首项系数为正的三次函数，所以当 $x\to -\infty$ 时 $y\to -\infty$，当 $x\to +\infty$ 时 $y\to +\infty$。 四个图象中只有 C 同时满足这些特征，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的图象与零点

核心方法：二重根相切、单根穿过、定端点走向

避坑指南：$(x-a{)}^2$ 给出在 $x=a$ 处相切不穿，$(x-b)$ 给出在 $x=b$ 处穿过；首项系数为正则右端上扬，对照选项逐一排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：因式形式定图象是函数图象题的通法。

结论推广：零点重数决定”穿过”还是”相切”：奇穿偶切。

方法推广：最高次系数的符号决定两端走向，先看端点再验局部更省时。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-21 解-三次函数极值点分布
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2011-四川卷文-04 单-反函数图象