2008-福建卷文-12 单-双曲线离心率范围

本题导读

设 $|P{F}_2|=2a$，则 $|P{F}_1|=4a$；点 $P$ 在双曲线上时 $|P{F}_2|⩾c-a$，由此得 $2a⩾c-a$，即 $e⩽3$.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，若 $P$ 为其上一点，且 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$，则双曲线离心率的取值范围为()

A. $(1,3)$　　　　　B. $(1,3]$　　　　　C. $(3,+\infty )$　　　　　D. $[3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

由定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$ 与 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$ 联立得 $|P{F}_2|=2a$；而双曲线上点到焦点距离最小值为 $c-a$（顶点处），故 $2a⩾c-a$，$e⩽3$，结合 $e>1$ 得 $(1,3]$.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

不妨设 $P$ 在右支上，由双曲线定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$. 把 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$ 代入，得 $|P{F}_2|=2a$. 双曲线上任一点到焦点 $F_2$ 的距离不小于顶点到 $F_2$ 的距离 $c-a$，即 $|P{F}_2|⩾c-a$. 所以 $2a⩾c-a$，得 $c⩽3a$，即 $e=\frac{c}{a}⩽3$. 又双曲线离心率 $e>1$，故 $e\in (1,3]$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线定义与离心率范围

核心方法：用定义把焦半径表为 $2a$，对最小焦半径列不等式

避坑指南：焦点半径最小值 $c-a$ 在顶点处取得，前提 $P$ 在相应支上；等号能取到（顶点）时范围是闭的 $,(1,3]$，别想当然开区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦半径与离心率范围（2009 安徽文 6）

结论推广：条件改为 $|P{F}_1|=\lambda |P{F}_2|$ 时 $e⩽\frac{\lambda +1}{\lambda -1}$，椭圆有类似讨论

方法推广：定义 + 焦半径最值 $c-a$（或 $a-c$）是处理范围题的固定套路

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2009-江西卷文-07 单-双曲线离心率
• 2010-新课标卷文-05 单-双曲线离心率
• 2010-辽宁卷文-09 单-双曲线离心率