2009-江西卷文-07 单-双曲线离心率

本题导读

考查离心率。$|F_{1}P|=2c$ 且 $P$ 到 $F_1{F}_2$ 距离 $2b=(\sqrt{3}/2)\cdot 2c$，即 $3c^2=4b^2$；$a^2=c^2-b^2=c^2/4$，$e=2$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 设 $F_1$ 和 $F_2$ 为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的两个焦点，若 $F_1$，$F_2$，$P(0,2b)$ 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ()

A. $\frac{3}{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $F_1{F}_2=2c$，正三角形中 $P$ 到边 $F_1{F}_2$ 的高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2c=\sqrt{3}c$。
2. 高恰为 $P$ 的纵坐标 $2b$，故 $2b=\sqrt{3}c$，即 $3c^2=4b^2$。
3. 双曲线中 $a^2=c^2-b^2=c^2-\frac{3c^2}{4}=\frac{c^2}{4}$，故 $e=\frac{c}{a}=2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $F_1$，$F_2$，$P(0,2b)$ 构成正三角形，边长 $|F_1{F}_2|=2c$，$P$ 到直线 $F_1{F}_2$ 的距离为 $2b$。 正三角形的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍边长，所以 $2b=\sqrt{3}c$，即 $b^2=\frac{3c^2}{4}$。 双曲线中 $a^2=c^2-b^2=c^2-\frac{3c^2}{4}=\frac{c^2}{4}$，于是 $e=\frac{c}{a}=2$。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：正三角形的高 = 边长的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍

避坑指南：$2b=\sqrt{3}c$ 给出 $b^2=\frac{3c^2}{4}$；注意双曲线 $a^2=c^2-b^2$（不是相加），$a^2=\frac{c^2}{4}$，$e=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点三角形中出现正三角形时，用”高 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 边长”立式最快。

结论推广：双曲线 $a^2+b^2=c^2$，椭圆 $a^2=b^2+c^2$，先写对再代。

方法推广：$P(0,2b)$ 的纵坐标就是 $P$ 到 $x$ 轴（焦点连线）的距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-04 单-双曲线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形