2010-辽宁卷文-09 单-双曲线离心率

本题导读

考查双曲线离心率。$b^2=ac\Rightarrow e^2-e-1=0$，$e=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 设双曲线的一个焦点为 $F$，虚轴的一个端点为 $B$，如果直线 $FB$ 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$F(c,0)$，$B(0,b)$。
2. $k_{FB}=-\frac{b}{c}$，渐近线斜率 $\frac{b}{a}$；垂直：$-\frac{b^2}{ac}=-1$。
3. $b^2=ac\Rightarrow c^2-a^2=ac\Rightarrow e^2-e-1=0$。
4. $e=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（取大于 $1$ 的根）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

不妨设双曲线为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$F(c,0)$，$B(0,b)$。 $k_{FB}=\frac{b-0}{0-c}=-\frac{b}{c},$ 渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 的斜率为 $\frac{b}{a}$。 由垂直条件： $-\frac{b}{c}\cdot \frac{b}{a}=-1\Rightarrow b^2=ac.$ 代入 $b^2=c^2-a^2$： $c^2-a^2=ac\Rightarrow e^2-e-1=0,$ 解得 $e=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。 双曲线 $e>1$，故 $e=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：垂直条件化为 $a,c$ 的齐次方程，两边除以 $a^2$ 得 $e$ 的方程

避坑指南：$b^2=ac$ 与 $b^2=c^2-a^2$ 联立得 $e^2-e-1=0$；两根一正一负，双曲线 $e>1$ 舍负根；虚轴端点 $B(0,b)$ 与实轴端点别混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：齐次化处理：凡 $a,b,c$ 的二次齐次等式都可化为 $e$ 的方程。

结论推广：$\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$，渐近线斜率与离心率互相表出。

方法推广：焦点到渐近线的距离为 $b$，是双曲线的常用结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2012-浙江卷文-08 单-双曲线椭圆离心率
• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围