2008-福建卷文-21 解-三次函数极值

本题导读

过点 $(-1,-6)$ 给一条方程，$g(x)$ 为偶函数给另一条；解出 $f(x)=x^3-3x^2-2$ 后极值点为 $0,2$；(2) 中 $0,2$ 是否落在 $(a-1,a+1)$ 内等价于 $0<a<1$ 与 $1<a<3$.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+m{x}^2+nx-2$ 的图象过点 $(-1,-6)$，且函数 $g(x)=f^{\prime }(x)+6x$ 的图象关于 $y$ 轴对称.

(1) 求 $m$、$n$ 的值及函数 $y=f(x)$ 的单调区间；

(2) 若 $a>0$，求函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a-1,a+1)$ 内的极值.

🔍【思路分析】

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(1) $-1+m-n-2=-6$ 且 $g(x)=3x^2+(2m+6)x+n$ 为偶函数 $\Rightarrow m=-3$，$n=0$；$f^{\prime }=3x(x-2)$，增区间 $(-\infty ,0)$、$(2,+\infty )$，减区间 $(0,2)$. (2) $0\in (a-1,a+1)\iff 0<a<1$，$2\in (a-1,a+1)\iff 1<a<3$，分三类加边界.

✅【答案】

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(1) $m=-3$，$n=0$；增区间 $(-\infty ,0)$、$(2,+\infty )$，减区间 $(0,2)$；(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图象过点 $(-1,-6)$：$-1+m-n-2=-6$，即 $m-n=-3$. $f^{\prime }(x)=3x^2+2mx+n$，故 $g(x)=3x^2+(2m+6)x+n$. $g$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $g$ 是偶函数，一次项系数为零：$2m+6=0$，$m=-3$，从而 $n=0$. 所以 $f(x)=x^3-3x^2-2$，$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. 当 $x<0$ 或 $x>2$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；当 $0<x<2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$. 故增区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $(2,+\infty )$，减区间为 $(0,2)$. (2) 由(1)，$x=0$ 是极大值点，$f(0)=-2$；$x=2$ 是极小值点，$f(2)=8-12-2=-6$. $0\in (a-1,a+1)\iff a-1<0<a+1$，又 $a>0$，即 $0<a<1$，此时区间内有极大值 $-2$； $2\in (a-1,a+1)\iff a-1<2<a+1$，即 $1<a<3$，此时区间内有极小值 $-6$； 当 $a=1$ 或 $a⩾3$ 时，区间 $(a-1,a+1)$ 内不含极值点，函数在该区间内没有极值.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数单调性与区间极值

核心方法：两个条件解两个参数，导数定号分区间；极值点必须落在开区间内才算数

避坑指南：$a=1$ 时区间 $(0,2)$ 恰把两个极值点排除在外，这时区间内无极值，别漏写；极大值 $-2$ 小于 0 没有问题，极值不要求为正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数极值的存在性与区间有关（2010 江西文 17）

结论推广：区间含参数时，“极值点是否落入区间”的判定本质是解不等式组

方法推广：先定极值点再谈区间，顺序反了会陷入无谓的分类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-江西卷文-17 解-三次函数极值与单调性
• 2010-大纲卷II文-21 解-三次函数单调与极值点
• 2010-福建卷文-22 解-三次函数切线单调与中心对称