2008-福建卷文-22 解-椭圆交点与面积

本题导读

(1) 焦点 $(1,0)$ 与点 $(2,0)$ 锁定 $a=2$、$b^2=3$；(2) 设 $A(t,s)$、$B(t,-s)$，用 $M=A+\lambda (F-A)=B+\mu (N-B)$ 解出 $M$ 的坐标代入椭圆方程；(ii) 用 $△AMN$ 以 $AN$ 为底、$M$ 到直线 $AN$ 的距离转化，或直接行列式，得 $S(t)$ 后求导取最大.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 如图，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个焦点为 $F(1,0)$，且过点 $(2,0)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 若 $AB$ 为垂直于 $x$ 轴的动弦，直线 $l:x=4$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，直线 $AF$ 与 $BN$ 交于点 $M$. ①求证：点 $M$ 恒在椭圆 $C$ 上； ②求 $△AMN$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

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(1) $c=1$，$(2,0)$ 在椭圆上 $\Rightarrow a=2$，$b^2=3$. (2)①设 $A(t,s)$，$s^2=\frac{3}{4}(4-t^2)$，$N(4,0)$；由 $M=A+\lambda (F-A)$ 且 $M=B+\mu (N-B)$ 解得 $M=\left(\frac{8-5t}{5-2t},-\frac{3s}{5-2t}\right)$，代入验证 $\frac{x_M^2}{4}+\frac{y_M^2}{3}=1$. ②$S=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN})|=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{(4-t)\sqrt{4-t^2}}{5-2t}$，对 $H(t)=\frac{(4-t{)}^2(4-t^2)}{(5-2t{)}^2}$ 求导，唯一临界点 $t=1$，$S_{\max }=\frac{9}{2}$.

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；(2)①见解析；②$\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 半焦距 $c=1$，$a^2-b^2=1$；又点 $(2,0)$ 在椭圆上，$\frac{4}{a^2}=1$，得 $a=2$，$b^2=3$. 椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$. (2)①由 $AB\perp x$ 轴，设 $A(t,s)$，$B(t,-s)$，$-2<t<2$，$s>0$，则 $s^2=\frac{3}{4}(4-t^2)$. 又 $F(1,0)$，$N(4,0)$. 设 $M=A+\lambda (F-A)=B+\mu (N-B)$， 比较纵坐标：$s(1-\lambda )=s(\mu -1)$，得 $\mu =2-\lambda$； 比较横坐标：$t+\lambda (1-t)=t+(2-\lambda )(4-t)$，解得 $\lambda =\frac{2(4-t)}{5-2t}$. 于是 $M=\left(\frac{8-5t}{5-2t},-\frac{3s}{5-2t}\right)$. 代入椭圆方程：$\frac{x_M^2}{4}+\frac{y_M^2}{3}=\frac{(8-5t{)}^2+9(4-t^2)}{4(5-2t{)}^2}=\frac{100-80t+16t^2}{4(5-2t{)}^2}=\frac{4(5-2t{)}^2}{4(5-2t{)}^2}=1$. 所以点 $M$ 恒在椭圆 $C$ 上. ②$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{2(t-1)(t-4)}{5-2t},\frac{2s(t-4)}{5-2t}\right)$，$\overrightarrow{AN}=(4-t,-s)$. $S=\frac{1}{2}\left|\det (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN})\right|=\frac{3s(4-t)}{5-2t}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{(4-t)\sqrt{4-t^2}}{5-2t}$. 设 $H(t)=\frac{(4-t{)}^2(4-t^2)}{(5-2t{)}^2}$，$-2<t<2$. 对数求导： $\frac{H^{\prime }(t)}{H(t)}=-\frac{2}{4-t}-\frac{2t}{4-t^2}+\frac{4}{5-2t}$， 令其为零并通分：$-4(t-1)(t^2-4t+6)=0$（分母在 $-2<t<2$ 内恒正）. 而 $t^2-4t+6=(t-2{)}^2+2>0$，故唯一临界点 $t=1$. 当 $t\to \pm 2$ 时 $S\to 0$，故最大值在 $t=1$ 取得，此时 $s=\frac{3}{2}$， $S_{\max }=\frac{3\times \frac{3}{2}\times 3}{3}=\frac{9}{2}$. 所以 $△AMN$ 面积的最大值为 $\frac{9}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与直线交点的参数化

核心方法：设动弦端点 $A(t,s)$，用向量参数式表示交点代入验证；面积对参数求导取最值

避坑指南：$$\begin{gathered} lambda, \\ mu \end{gathered}$$ 的两条参数式比较坐标时，先纵后横的顺序别乱；$$\begin{gathered} t \\ to \\ pm2 \end{gathered}$$ 时 $$\begin{gathered} S \\ to0 \end{gathered}$$ 说明内部确有最大值，求导后要说明唯一临界点就是最值点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆定点与面积最值综合（2009 福建文 22、2010 山东文 22）

结论推广：直线 $l:x=4$ 换成 $x=\frac{a^2}{c}$ 后结论类似，与准线有关

方法推广：参数化动点 + 向量参数式求交点，是回避联立韦达的一条轻量路线

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-22 解-椭圆最值与存在性
• 2010-山东卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2010-新课标卷文-20 解-椭圆焦点弦
• 2010-江苏卷-18 解-椭圆轨迹与定点