2010-江苏卷-18 解-椭圆轨迹与定点

本题导读

考查椭圆综合。（1）轨迹 $x=\frac{9}{2}$；（2）$T\left(7,\frac{10}{3}\right)$；（3）$MN$ 恒过定点 $(1,0)$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ 的左、右顶点为 $A$、$B$，右焦点为 $F$.设过点 $T(t,m)$ 的直线 $TA$、$TB$ 与此椭圆分别交于点 $M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$，其中 $m>0$，$y_1>0$，$y_2<0$.

(1)设动点 $P$ 满足 $P{F}^2-P{B}^2=4$，求点 $P$ 的轨迹；

(2)设 $x_1=2$，$x_2=\frac{1}{3}$，求点 $T$ 的坐标；

(3)设 $t=9$，求证：直线 $MN$ 必过 $x$ 轴上的一定点（其坐标与 $m$ 无关）.

🔍【思路分析】

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1. （1）$F(2,0),B(3,0)$，$P{F}^2-P{B}^2=2x-5=4$，$x=\frac{9}{2}$。
2. （2）$M\left(2,\frac{5}{3}\right)$ 得直线 $AM:y=\frac{x+3}{3}$；$N\left(\frac{1}{3},-\frac{20}{9}\right)$ 得直线 $BN:y=\frac{5}{6}(x-3)$，交点即 $T$。
3. （3）$AT:y=\frac{m}{12}(x+3)$ 代入椭圆得 $M\left(\frac{3(80-m^2)}{m^2+80},\frac{40m}{m^2+80}\right)$；同理 $N\left(\frac{3(m^2-20)}{m^2+20},-\frac{20m}{m^2+20}\right)$。
4. 两点式算 $MN$ 与 $x$ 轴交点 $x_0=1$。

✅【答案】

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(1) 直线 $x=\frac{9}{2}$

(2) $T\left(7,\frac{10}{3}\right)$

(3) 直线 $MN$ 恒过定点 $(1,0)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）椭圆中 $a=3$，$b=\sqrt{5}$，$c=2$，故 $F(2,0)$，$B(3,0)$。 设 $P(x,y)$： $P{F}^2-P{B}^2=\left[(x-2{)}^2+y^2\right]-\left[(x-3{)}^2+y^2\right]=2x-5=4,$ 得 $x=\frac{9}{2}$。点 $P$ 的轨迹是直线 $x=\frac{9}{2}$。 （2）$x_1=2$ 代入椭圆方程（$y_1>0$）：$y_1=\frac{5}{3}$，即 $M\left(2,\frac{5}{3}\right)$。 又 $A(-3,0)$，直线 $AM:y=\frac{x+3}{3}$。 $x_2=\frac{1}{3}$ 代入（$y_2<0$）：$y_2=-\frac{20}{9}$，即 $N\left(\frac{1}{3},-\frac{20}{9}\right)$。 又 $B(3,0)$，直线 $BN:y=\frac{5}{6}(x-3)$。 联立两直线： $\frac{x+3}{3}=\frac{5}{6}(x-3)\Rightarrow x=7,y=\frac{10}{3},$ 故 $T\left(7,\frac{10}{3}\right)$。 （3）$t=9$ 时，直线 $AT:y=\frac{m}{12}(x+3)$，$BT:y=\frac{m}{6}(x-3)$。 把 $AT$ 代入椭圆方程：$\frac{x^2}{9}+\frac{m^2(x+3{)}^2}{720}=1$， 一根为 $x=-3$（点 $A$），另一根满足 $x_M+3=\frac{480}{m^2+80}$，故 $M\left(\frac{3(80-m^2)}{m^2+80},\frac{40m}{m^2+80}\right).$ 同理，把 $BT$ 代入椭圆，一根为 $x=3$，另一根满足 $x_N-3=-\frac{120}{m^2+20}$，故 $N\left(\frac{3(m^2-20)}{m^2+20},-\frac{20m}{m^2+20}\right).$ 设 $MN$ 与 $x$ 轴交于 $Q(x_0,0)$，由两点式： $x_0=\frac{x_M{y}_N-x_N{y}_M}{y_N-y_M}=\frac{-60m(m^2+40)}{-60m(m^2+40)}=1,$ （分子分母同含因子 $\frac{-60m(m^2+40)}{(m^2+80)(m^2+20)}$） 故直线 $MN$ 恒过定点 $Q(1,0)$，与 $m$ 无关。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆综合：轨迹、交点、定点

核心方法：（3）用参数 $m$ 表出 $M,N$ 坐标，两点式求 $x$ 轴截距

避坑指南：（2）中 $y_1>0,y_2<0$ 决定纵坐标符号，漏掉会得错直线；（3）代入后”一根已知”用韦达定理求另一根，比硬解方程快捷；截距式 $x_0=\frac{x_M{y}_N-x_N{y}_M}{y_N-y_M}$ 分子分母同因子要约干净。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：过定点的直线与圆锥曲线相交，“已知一根求另一根”是韦达定理的标准用法。

结论推广：$P{F}^2-P{B}^2=$ 常数的轨迹是垂直于 $x$ 轴的直线（平方差消去 $y^2$）。

方法推广：证明直线过定点的通法：求出直线与坐标轴交点，验证与参数无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线
• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆
• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2012-江苏卷-19 解-椭圆方程与焦点弦定值