2008-福建卷理-04 单-函数

本题导读

本题利用构造法考查函数奇偶性的应用，通过将非奇非偶函数拆分为奇函数与常数之和，利用对称性简化求值。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 函数 $f(x)=x^3+\sin x+1(x\in \mathbf{R})$，若 $f(a)=2$，则 $f(-a)$ 的值为 ()

A. 3　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. -1　　　　　　　D. -2

🔍【思路分析】

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1. 观察函数解析式，分离出奇函数部分 $g(x)=x^3+\sin x$。
2. 将 $f(x)$ 表示为 $g(x)+1$，利用 $g(-a)=-g(a)$ 进行整体代换求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=x^3+\sin x$。 因为 $g(-x)=(-x{)}^3+\sin (-x)=-x^3-\sin x=-g(x)$，所以 $g(x)$ 为奇函数。 由题意，$f(x)=g(x)+1$。 因为 $f(a)=g(a)+1=2$，所以 $g(a)=1$。 则 $f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-1+1=0$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的定义与整体代换。
2. 核心方法：构造法，将非奇非偶函数转化为“奇函数 + 常数”的模型。
3. 避坑指南：忌盲目代入 $a$ 尝试求解具体数值，此类题型考查的是函数图象的整体对称性。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是基于奇函数基本性质 $g(-x)+g(x)=0$ 派生出的经典对称性考查题。
5. 结论推广: 若函数 $f(x)=g(x)+c$ 且 $g(x)$ 为奇函数，则对定义域内的任意实数 $a$，恒有 $f(a)+f(-a)=2c$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项