2008-福建卷理-09 单-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义与三角函数图象的平移变换。重点在于准确求出导函数，并结合向量平移的代数形式与诱导公式求解参数。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 函数 $f(x)=\cos x(x\in \mathbf{R})$ 的图象按向量 $(m,0)$ 平移后，得到函数 $y=-f^{\prime }(x)$ 的图象，则 $m$ 的值可以为 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　C. $-\pi$　　　　　　　D. $-\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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1. 计算函数 $f(x)=\cos x$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$，从而确定目标函数 $y=-f^{\prime }(x)$ 的解析式。
2. 依据向量平移规律，确定 $f(x)$ 平移后的新解析式为 $y=\cos (x-m)$。
3. 利用三角函数的诱导公式，寻找满足 $\cos (x-m)=\sin x$ 的 $m$ 值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=\cos x$，所以 $f^{\prime }(x)=-\sin x$。 进而得到目标函数为 $y=-f^{\prime }(x)=-(-\sin x)=\sin x$。 将函数 $f(x)=\cos x$ 的图象按向量 $(m,0)$ 平移后，得到的函数解析式为 $y=\cos (x-m)$。 依题意有 $\cos (x-m)=\sin x$ 恒成立。 利用诱导公式可知 $\sin x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$， 故 $\cos (x-m)=\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$。 取其中的一种特殊情况令 $x-m=x-\frac{\pi }{2}$，解得 $m=\frac{\pi }{2}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的导数公式；图象在向量作用下的平移规律。
2. 核心方法：公式法与图象变换法。
3. 避坑指南：一是注意余弦求导符号，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ 极易因粗心漏掉负号；二是注意向量平移 $(m,0)$ 作用于自变量时遵循“左加右减”，即对应 $x\to x-m$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是由教材中三角函数的图象变换性质与导数公式交汇改编而来的高频基础题。
5. 结论推广: 若函数 $f(x)=\cos x$ 的图象向右平移 $m$ 个单位后与 $g(x)=\sin x$ 重合，则平移量满足 $m=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数