2007-辽宁卷理-06 单-平移向量坐标表示

本题导读

本题考查函数图象的平移向量计算。核心在于通过比较原函数 $y=f(x)$ 与平移后的目标函数 $y=f(x+1)-2$ 解析式之间的自变量与因变量变化，判定几何位移向量。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 若函数 $y=f(x)$ 的图象按向量 $\mathbf{a}$ 平移后，得到函数 $y=f(x+1)-2$ 的图象，则向量 $\mathbf{a}=$ ()

A. $(-1,-2)$　　　B. $(1,-2)$　　　C. $(-1,2)$　　　D. $(1,2)$

🔍【思路分析】

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1. 平移准则回顾：函数图象平移的经典代数法则是“左加右减，上加下减”。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 观察自变量：由 $x$ 变为了 $x+1$，属于“加 1”，代表图象沿 $x$ 轴向左平移了 1 个单位。对应向量的横坐标为 $-1$。
• 观察因变量：整体减去 2，即 $y+2=f(x+1)$，属于“减 2”，代表图象沿 $y$ 轴向下平移了 2 个单位。对应向量的纵坐标为 $-2$。

3. 将几何位移转化为向量坐标 $\mathbf{a}=(\Delta x,\Delta y)$。

✍ 〖详细解析〗

解：设将函数 $y=f(x)$ 的图象上任意一点 $P(x,y)$ 按向量 $\mathbf{a}=(h,k)$ 平移至目标图象上的对应点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。 根据向量平移的坐标公式，有： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+h\\ y^{\prime }=y+k\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }-h\\ y=y^{\prime }-k\end{array}$ 将原函数 $y=f(x)$ 中的 $x$ 和 $y$ 用平移后的新坐标代换： $y^{\prime }-k=f(x^{\prime }-h)⟹y^{\prime }=f(x^{\prime }-h)+k$

题目已知平移后得到的函数解析式为： $y=f(x+1)-2$ 将两解析式进行对应系数比对： $\{\begin{array}{l}-h=1⟹h=-1\\ k=-2\end{array}$ 所以，平移向量为 $\mathbf{a}=(h,k)=(-1,-2)$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数解析式平移变换中的坐标映射代换。
2. 避坑指南：

• 极易混淆向量平移与解析式加减的符号方向。平移向量的坐标符号就是图象实际几何移动的方向。自变量“加1”意味着向负方向（左）移动，所以横坐标为 $-1$；常数项“减2”意味着向负方向（下）移动，所以纵坐标为 $-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象的平移变换、平移向量的坐标表示是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数图象的平移变换、平移向量的坐标表示的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用代数逆推法、“左加右减，上加下减”准则，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-福建卷理-09 单-导数
• 2008-辽宁卷文-08 单-图象按向量平移
• 2008-辽宁卷理-08 单-向量