2008-福建卷理-20 解-分布列

本题导读

本题考查概率与统计基础知识。第一问通过相互独立事件的概率乘法公式求指定事件的概率；第二问需要穷举考试流程中的各种可能路径，确定随机变量的取值及其对应的概率，从而建立分布列并求得数学期望。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 某项考试按科目 $A$、科目 $B$ 依次进行，只有当科目 $A$ 成绩合格时，才可继续参加科目 $B$ 的考试. 已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书. 现某人参加这项考试，科目 $A$ 每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{2}{3}$，科目 $B$ 每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{1}{2}$. 假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

(1) 求他不需要补考就可获得证书的概率；

(2) 在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 $\xi$，求 $\xi$ 的数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：不需要补考获得证书，即科目 $A$ 第一次考试合格且科目 $B$ 第一次考试合格，两者为相互独立事件，概率相乘即可。
2. 第二问：首先确定 $\xi$ 的可能取值为 2, 3, 4。接着分类讨论各取值对应的考试通过与失败的组合路径，算出各自概率，列出分布列并套用期望公式求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 设“科目 $A$ 第一次考试合格”为事件 $A_1$，“科目 $B$ 第一次考试合格”为事件 $B_1$。 由题意，不需要补考就获得证书的事件为 $A_1{B}_1$。 由于各次考试成绩合格与否均互不影响，故其概率为： $P(A_1{B}_1)=P(A_1)\cdot P(B_1)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$ 所以，他不需要补考就可获得证书的概率为 $\frac{1}{3}$。

(2) 依题意，$\xi$ 的所有可能取值为 2, 3, 4。

• 当 $\xi =2$ 时，对应的考试情况为：科目 $A$ 第一次合格且科目 $B$ 第一次合格，或者科目 $A$ 第一次不合格且补考也不合格。 $P(\xi =2)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}+\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$

• 当 $\xi =3$ 时，对应的考试情况为：科目 $A$ 第一次合格、科目 $B$ 第一次不合格（此时必参加科目 $B$ 补考）；或者科目 $A$ 第一次不合格、补考合格、科目 $B$ 第一次合格。 $P(\xi =3)=\frac{2}{3}\times \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$

• 当 $\xi =4$ 时，对应的考试情况为：科目 $A$ 第一次不合格、补考合格、科目 $B$ 第一次不合格（此时必参加科目 $B$ 补考）。 $P(\xi =4)=\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \frac{2}{3}\times \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{9}$

因此，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	2	3	4
$P$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

$\xi$ 的数学期望为： $E\xi =2\times \frac{4}{9}+3\times \frac{4}{9}+4\times \frac{1}{9}=\frac{8+12+4}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列的性质（各概率之和为 1）；数学期望公式 $E\xi =\sum x_i{p}_i$。
2. 核心方法：树状图法或路径穷举法。在处理具有先后递进关系的概率流程时，画出流程树状图能避免遗漏。
3. 避坑指南：

• 极易遗漏 $\xi =2$ 时“科目 $A$ 连错两次直接出局”的情况，或者遗漏 $\xi =3$ 时“$A$ 错 $A$ 补对 $B$ 对”的情况。
• 分布列求完后，务必计算各概率之和是否等于 1，以此检验是否漏算或多算路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题原型源于现实中的闯关游戏或分阶段资格认证考试模型，是高考概率解答题中极其经典的阶段性独立事件考查方式。
2. 结论推广: 设某一闯关游戏共 $n$ 关，每关通过概率为 $p_i$，若每关有 $k$ 次机会。该类模型均可由前往后、分层级利用马尔可夫链或全概率公式的思想降维成局部的独立事件组合求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率