2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件

本题导读

考查概率。总取法 ${\mathrm{C}}_7^3=35$，全男 ${\mathrm{C}}_5^3=10$，$P=1-\frac{10}{35}=\frac{5}{7}$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 若某学校要从 $5$ 名男生和 $2$ 名女生中选出 $3$ 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 $1$ 名的概率是$\underline{}$.（结果用最简分数表示）

🔍【思路分析】

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1. 对立事件是” $3$ 人全为男生”（女生只有 $2$ 人，不可能全女）。
2. $P=1-\frac{{\mathrm{C}}_5^3}{{\mathrm{C}}_7^3}=1-\frac{10}{35}=\frac{5}{7}$。

✅【答案】

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$\frac{5}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $7$ 人中选 $3$ 人共 ${\mathrm{C}}_7^3=35$ 种等可能取法。 “男女生均不少于 $1$ 名”的对立事件是 ”$3$ 人全为男生”（因为女生只有 $2$ 名，选不出 $3$ 名女生），有 ${\mathrm{C}}_5^3=10$ 种。 所以 $P=1-\frac{10}{35}=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合计数与古典概型

核心方法：对立事件：总数减全男

避坑指南：女生仅 $2$ 人，“全女”不存在，对立事件只有”全男”；${\mathrm{C}}_7^3=35$ 别算成 $21$（那是 ${\mathrm{C}}_7^2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：至少/均不少于型概率首选对立事件。

结论推广：$P=1-\frac{{\mathrm{C}}_5^3}{{\mathrm{C}}_7^3}=1-\frac{10}{35}=\frac{5}{7}$。

方法推广：最后化最简分数 $\frac{5}{7}$；题目明确要求最简分式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-10 单-选课组合计数
• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2009-大纲卷I文-07 单-组合计数