2008-辽宁卷理-09 单-排列组合

本题导读

本题考查有限制条件的排列组合问题。核心意图是考查对分类计数原理与分步计数原理的综合运用能力，关键在于对特殊元素（甲）或特殊位置（第一、四工序）的去冗处理。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有 ()

A. 24 种　　　　　B. 36 种　　　　　C. 48 种　　　　　D. 72 种

🔍【思路分析】

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1. 观察发现第一道工序与第四道工序有位置限制，且特殊元素“甲”同时出现在这两个位置的选择范围内。
2. 采用分类讨论法，以“甲”的去向为标准分为三类：甲在第一道工序、甲在第四道工序、甲不在第一和第四道工序，分别计算后再求和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据特殊元素“甲”的位置进行分类讨论：

• 第一类：甲在第一道工序。则第四道工序只能选丙（1种），剩余的第二、三道工序从剩下的4名工人中任选2人排位置，共有 ${\mathrm{A}}_4^2=12$ 种方案；
• 第二类：甲在第四道工序。则第一道工序只能选乙（1种），剩余的第二、三道工序从剩下的4名工人中任选2人排位置，共有 ${\mathrm{A}}_4^2=12$ 种方案；
• 第三类：甲不在第一和第四道工序。则第一道工序只能选乙（1种），第四道工序只能选丙（1种），剩余的第二、三道工序从包含甲在内的剩下4名工人中任选2人排位置，共有 ${\mathrm{A}}_4^2=12$ 种方案。 综上所述，不同的安排方案共有 $12+12+12=36$ 种。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列组合，分类与分步计数原理。
2. 核心方法：元素分类法。优先处理共同限制元素（甲）。
3. 避坑指南：容易忽略第三类情况中“甲”还可以去第二、三道工序，导致漏算方案数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于经典的位置与元素双重限制排列问题，是高考试卷中对逻辑完整性考查的代表性小题。
2. 结论推广: 设有 $n$ 个元素分配到 $m$ 个位置，若有两个位置的候选集交集非空，应以交集元素为分类核心进行去冗讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合