2008-辽宁卷理-16 填-三角函数

本题导读

本题是一道构思精巧的三角函数性质综合题。考查核心在于将“两端点函数值相等”转化为“正弦函数图像的对称轴特征”，并结合开区间内“有最小值、无最大值”这一边界拓扑条件，精准锁定核心频率参数 $\omega$。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 已知 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)$ ($\omega >0$)，$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)$，且 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)$ 有最小值，无最大值，则 $\omega =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)$，利用对称性可知两端点的中点 $x_0=\frac{\pi }{4}$ 必为函数图象的一条对称轴。
2. 结合区间 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)$ 内“有最小值、无最大值”，推导出该对称轴 $x=\frac{\pi }{4}$ 必须是函数的波谷（即波谷落在区间正中央位置，且区间长度不能包含相邻的波峰）。
3. 根据波谷的相位条件建立关于 $\omega$ 的方程，并通过区间无最大值的边界限制排出多余解。

✅【答案】

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$14$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=f\left(\frac{\pi }{3}\right)$，所以函数 $f(x)$ 图象的一条对称轴为： $x=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{4}$ 又因为 $f(x)$ 在开区间 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)$ 内有最小值，无最大值， 说明该对称轴 $x=\frac{\pi }{4}$ 必然对应函数 $f(x)$ 的最小值点（即波谷位置）。 因此，当 $x=\frac{\pi }{4}$ 时，正弦函数的相位满足波谷条件： $\omega \cdot \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 两边同除以 $\pi$ 并移项化简得： $\frac{\omega }{4}=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}+2k=\frac{7}{6}+2k⟹\omega =\frac{14}{3}+8k(k\in \mathbf{Z})$ 为了保证在开区间 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)$ 内不包含波峰（即没有最大值），开区间两端点到对称轴的距离（半区间长 $\Delta x=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$）对应的相位差必须严格小于从波谷到相邻波峰的距离（即 $\pi$）： $\Delta \varphi =\omega \cdot \frac{\pi }{12}<\pi ⟹\omega <12$ 因为 $\omega >0$，在 $\omega =\frac{14}{3}+8k$ 中：

• 当 $k=0$ 时，$\omega =\frac{14}{3}$，此时 $\omega <12$ 成立；
• 当 $k\ge 1$ 时，$\omega \ge \frac{38}{3}>12$，这会导致区间内出现最大值，不符题意；
• 当 $k\le -1$ 时，$\omega <0$，不符题意。

综上所述，$\omega =\frac{14}{3}$。

答案：$\frac{14}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦函数对称轴与最值点的相位特征，开区间内最值的几何边界条件。
2. 核心方法：轴对称分析法、相位约束法。
3. 避坑指南：

• 很多学生容易仅由两点值相等推出 $x=\frac{\pi }{4}$ 轴对称，但忽略了是“波峰”还是“波谷”的辨析。由“有最小值无最大值”可精准判定必为波谷。
• 极易遗漏“无最大值”对周期的隐性限制条件 $\omega <12$，导致错解为无数个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由最基础的三角函数图象变换及单调性问题升级而来，通过在开区间内构造非对称性最值存在状态，深度考查考生的波形数形结合能力。
2. 结论推广: 设 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$，若在开区间 $(a,b)$ 内有唯一个极值点且为最值，则该中点必满足极值相位，且周期满足 $\frac{T}{2}>\frac{b-a}{2}⟹T>b-a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数