2008-辽宁卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题是2008年辽宁高考理科数学的圆锥曲线大题。第一问根据椭圆几何定义直接写出焦点在 $y$ 轴上的椭圆标准方程；第二问利用直线与椭圆联立后的韦达定理，结合向量垂直的数量积特征方程求解参数；第三问将向量模长比较转化为代数式差值的因式分解，利用两根的异号特征实现极简证明。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到两点 $(0,-\sqrt{3})$，$(0,\sqrt{3})$ 的距离之和为 4，设点 $P$ 的轨迹为 $C$，直线 $y=kx+1$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点.

(1)写出 $C$ 的方程；

(2)若 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，求 $k$ 的值；

(3)若点 $A$ 在第一象限，证明：当 $k>0$ 时，恒有 $|\overrightarrow{OA}|>|\overrightarrow{OB}|$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：点 $P$ 的轨迹是以 $(0,\pm \sqrt{3})$ 为焦点的椭圆，因焦点在 $y$ 轴上，根据 $2a=4,c=\sqrt{3}$ 算出 $b^2$ 即可写出方程。
2. 第二问：将直线 $y=kx+1$ 与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$。由 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，代入因式化简求解 $k$。
3. 第三问：将向量模长平方差转化为代数式 $|\overrightarrow{OA}{|}^2-|\overrightarrow{OB}{|}^2=(x_1-x_2)\left[(1+k^2)(x_1+x_2)+2k\right]$。由点 $A$ 在第一象限且 $x_1{x}_2<0$ 可知 $x_1>0>x_2$，提取公因式后证明剩余项恒大于 0。

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当 $k>0$ 时，$(x_1-x_2)>0$ 且 $\left[(1+k^2)(x_1+x_2)+2k\right]>0$，故其乘积 $|\overrightarrow{OA}{|}^2-|\overrightarrow{OB}{|}^2>0$，即恒有 $|\over

✍【详细解析】

Abstract

解：(1)由题意，点 $P$ 到两定点 $(0,-\sqrt{3})$ 和 $(0,\sqrt{3})$ 的距离之和为 $4>2\sqrt{3}$， 根据椭圆的几何定义，点 $P$ 的轨迹 $C$ 是一个焦点在 $y$ 轴上的椭圆。 其中 $2a=4⟹a=2$，$c=\sqrt{3}$。 则 $b^2=a^2-c^2=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=1$。 所以轨迹 $C$ 的方程为 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$。

(2)将直线方程 $y=kx+1$ 代入椭圆方程 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$ 中，通分去分母得： $4x^2+(kx+1{)}^2=4⟹(4+k^2)x^2+2kx-3=0$ 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由于 $\Delta =(2k{)}^2-4(4+k^2)(-3)=16k^2+48>0$ 恒成立， 由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{-2k}{4+k^2},x_1{x}_2=\frac{-3}{4+k^2}$ 因为 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。 又 $y_1{y}_2=(k{x}_1+1)(k{x}_2+1)=k^2{x}_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1$， 代入数量积公式得： $(1+k^2)x_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1=0$ 将韦达定理代入上式： $(1+k^2)\left(\frac{-3}{4+k^2}\right)+k\left(\frac{-2k}{4+k^2}\right)+1=0⟹-3-3k^2-2k^2+4+k^2=0$ $⟹1-4k^2=0⟹k^2=\frac{1}{4}$ 解得 $k=\pm \frac{1}{2}$。

(3)证明：要证恒有 $|\overrightarrow{OA}|>|\overrightarrow{OB}|$，只需证 $|\overrightarrow{OA}{|}^2-|\overrightarrow{OB}{|}^2>0$。 由于 $|\overrightarrow{OA}{|}^2=x_1^2+y_1^2=x_1^2+(k{x}_1+1{)}^2=(1+k^2)x_1^2+2k{x}_1+1$， 同理可得 $|\overrightarrow{OB}{|}^2=(1+k^2)x_2^2+2k{x}_2+1$。 两式相减并因式分解得： $|\overrightarrow{OA}{|}^2-|\overrightarrow{OB}{|}^2=(1+k^2)(x_1^2-x_2^2)+2k(x_1-x_2)=(x_1-x_2)\left[(1+k^2)(x_1+x_2)+2k\right]$ 由 $x_1{x}_2=\frac{-3}{4+k^2}<0$ 可知，方程两根异号。 因为点 $A(x_1,y_1)$ 在第一象限，所以横坐标 $x_1>0$，从而必有 $x_2<0$。 因此 $x_1-x_2>0$ 恒成立。 接下来考察后项因式，将 $x_1+x_2=\frac{-2k}{4+k^2}$ 代入得： $(1+k^2)\left(\frac{-2k}{4+k^2}\right)+2k=2k\left[1-\frac{1+k^2}{4+k^2}\right]=2k\cdot \frac{3}{4+k^2}=\frac{6k}{4+k^2}$ 当 $k>0$ 时，显然有 $\frac{6k}{4+k^2}>0$。 综上所述，当 $k>0$ 时，$(x_1-x_2)>0$ 且 $\left[(1+k^2)(x_1+x_2)+2k\right]>0$， 故其乘积 $|\overrightarrow{OA}{|}^2-|\overrightarrow{OB}{|}^2>0$，即恒有 $|\overrightarrow{OA}|>|\overrightarrow{OB}|$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点在 $y$ 轴上的椭圆方程表达，直线与圆锥曲线截弦交点坐标的因式化简。
2. 核心方法：联立方程韦达定理法、平方差因式分解法。
3. 避坑指南：

• 第一问最易陷入思维定势，将椭圆方程错写为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，必须看清两焦点 $(0,\pm \sqrt{3})$ 落在 $y$ 轴上。
• 第三问证明模长不等关系时，切忌直接代入求根公式，这会导致根式极其复杂；利用两根异号判定并分离出正因式 $(x_1-x_2)$ 是实现极简证明的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于解析几何中关于直线与二次曲线相交弦的几何非对称性探讨。其本质是考查当非对称直线平移时，交点到原点距离的代数偏置现象。
2. 结论推广: 对于任意标准椭圆 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ ($a>b$)，被直线 $y=kx+m$ ($m>0,k>0$) 截得两点 $A,B$。若 $A$ 在第一象限，则恒有 $|\overrightarrow{OA}|>|\overrightarrow{OB}|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量
• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦