2008-重庆卷文-08 单-双曲线焦点与抛物线准线

本题导读

$\sqrt{3+\frac{p^2}{16}}=\frac{p}{2}$ $\Rightarrow$ $3+\frac{p^2}{16}=\frac{p^2}{4}$ $\Rightarrow$ $p^2=16$，$p=4$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)） 若双曲线 $\frac{x^2}{3}-\frac{16y^2}{p^2}=1$ 的左焦点在抛物线 $y^2=2px$ 的准线上，则 $p$ 的值为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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双曲线焦点位置：$c^2=a^2+b^2$；抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的准线 $x=-\frac{p}{2}$；“左焦点在准线上”即两者横坐标相等.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线中 $a^2=3$，$b^2=\frac{p^2}{16}$，故 $c^2=3+\frac{p^2}{16}$，左焦点为 $\left(-\sqrt{3+\frac{p^2}{16}},0\right)$．抛物线 $y^2=2px$ 的准线为 $x=-\frac{p}{2}$．由左焦点在准线上，得 $\sqrt{3+\frac{p^2}{16}}=\frac{p}{2}$，平方得 $3+\frac{p^2}{16}=\frac{p^2}{4}$，解得 $p^2=16$，故 $p=4$．故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点与抛物线准线

核心方法：$c^2=a^2+b^2$ 与准线 $x=-\frac{p}{2}$ 联立

避坑指南：$b^2=\frac{p^2}{16}$ 别写成 $\frac{p}{4}$；开方后 $p>0$ 自动保证等式两边非负，平方不产生增根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两种圆锥曲线的交汇题，位置条件的代数化

结论推广：双曲线焦点落在抛物线准线上：$c^2$ 与 $\frac{p^2}{4}$ 联立

方法推广：跨曲线交汇题分别写出两曲线的关键量（焦点/准线/顶点），坐标相等即方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-08 单-双曲线定义
• 2008-重庆卷理-08
• 2012-重庆卷理-14 填-抛物线