2012-重庆卷理-14 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的几何性质，以及抛物线中焦点弦两部分倒数和的性质。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） 过抛物线 $y^2=2x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A,B$ 两点，若 $|AB|=\frac{25}{12}$，$|AF|<|BF|$，则 $|AF|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定抛物线基本量：由抛物线标准方程 $y^2=2x$ 可知 $2p=2⟹p=1$，焦点坐标为 $F\left(\frac{1}{2},0\right)$。
2. 引入焦点弦代数变量：设 $|AF|=m$， $|BF|=n$。根据线段的加合性，由于 $A,F,B$ 三点共线且 $F$ 在中间，可得焦点弦总长 $m+n=|AB|=\frac{25}{12}$。
3. 应用焦点弦倒数和定理（最优解）：利用抛物线的二级核心几何结论：过焦点弦的两段长满足倒数和恒为定值，即 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$。
4. 联立代数方程组求解：代入 $p=1$ 得到 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2⟹\frac{m+n}{mn}=2$，从而解出两因式的积 $mn$。进一步构造一元二次方程，结合限制条件 $m<n$ 精确解出较短线段 $|AF|$ 的长。

✅【答案】

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$\frac{5}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

已知抛物线方程为 $y^2=2x$，对照标准方程 $y^2=2px$ 可得： $2p=2⟹p=1$

设焦点弦被焦点 $F$ 分割成的两部分线段长度分别为： $|AF|=m,|BF|=n$ 因为已知整个焦点弦的长度为 $|AB|=\frac{25}{12}$，所以有： $m+n=\frac{25}{12}\text{(1)}$

根据抛物线的焦半径几何性质，过焦点的直线的弦长分段满足核心倒数和公式： $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$ 将 $p=1$ 代入此通用性质式中： $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{1}=2\text{(2)}$

对②式进行左边通分化简： $\frac{m+n}{mn}=2⟹mn=\frac{m+n}{2}$ 将①式代入上式中，求得两部分线段长度的乘积： $mn=\frac{\frac{25}{12}}{2}=\frac{25}{24}\text{(3)}$

现在我们已知两数之和 $m+n=\frac{25}{12}$，两数之积 $mn=\frac{25}{24}$。根据韦达定理的逆定理， $m,n$ 是关于未知数 $t$ 的一元二次方程的两个实数根： $t^2-(m+n)t+mn=0⟹t^2-\frac{25}{12}t+\frac{25}{24}=0$

两边同时乘以 24 以消除分母，转化为整式方程： $24t^2-50t+25=0$ 利用十字相乘法对该二次多项式进行因式分解： $(6t-5)(4t-5)=0$ 解得方程的两个根分别为： $t_1=\frac{5}{6},t_2=\frac{5}{4}$

因为题目中给定约束条件为 $|AF|<|BF|$，即满足 $m<n$。 因此，较短的线段长度必然对应较小的根： $m=|AF|=\frac{5}{6}$ $n=|BF|=\frac{5}{4}$

所以， $|AF|$ 的长为 $\frac{5}{6}$。

填空题答案为：$\frac{5}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线标准参数 $p$ 的识别、焦点弦分段倒数和公式 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$ 的应用、和积构造一元二次方程。
2. 核心方法：焦点弦性质二级结论法。在解析几何中，处理过焦点的直线与抛物线相交的弦长问题，如果不采用联立直线 $y=k(x-\frac{1}{2})$ 与抛物线方程并展开韦达定理的常规大题方法，而是直接套用性质公式 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$，在小题（填空、选择）中可以将解析几何极高强度的字母运算完全转化为纯算术方程，属于简化计算技巧。
3. 避坑指南：

• 联立直线方程制造无效计算：很多考生由于没有掌握倒数和公式，直接设直线为 $x=ky+\frac{1}{2}$，与 $y^2=2x$ 联立得 $y^2-2ky-1=0$。随后利用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|y_1-y_2|=\frac{25}{12}$ 强行去解 $k$ 的值。该路径计算量极大且容易在双重根式通分时因粗心算错，在考场上属于严重的“高能耗”陷阱。
• 大小关系看错：求出两个根 $\frac{5}{6}$ 与 $\frac{5}{4}$ 后，需仔细比对分式大小，因为 $\frac{5}{6}\approx 0.833<\frac{5}{4}=1.25$，结合 $|AF|<|BF|$，必须确保取较小的实根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线与方程》中抛物线的几何性质配套拓展课后习题。属于考查抛物线焦点弦核心几何性质的一道经典能力型中档填空题。
2. 结论推广:

• 抛物线焦点弦倒数和通用定则：在任意标准抛物线（如 $y^2=2px$ 或 $x^2=2py$）中，过焦点的任意一条直线与曲线交于 $A,B$ 两点。
• 设两焦半径长度分别为 $|AF|=m,|BF|=n$，根据抛物线的极坐标方程或准线定义，这两部分长度的倒数和永远是一个与直线的倾斜角、斜率完全无关的几何常数： $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$
• 该结论被称为抛物线的“调和平均数性质”。熟记此二级结论模型，可以将一切过焦点的分段弦长求解问题，直接转化为简单的一元二次方程和积消元，实现考场上的快速得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结 类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性

• 2010-山东卷文-09 单-抛物线焦点弦