2008-重庆卷文-18 解-独立重复试验概率

本题导读

(1)${\mathrm{C}}_4^2\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{9}{16}=\frac{54}{256}=\frac{27}{128}$；(2)$1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^4=1-\frac{81}{256}=\frac{175}{256}$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)） 在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中，只有一个是正确的．若对 4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这 4 道题中：

(1)恰有两道题答对的概率；

(2)至少答对一道题的概率.

🔍【思路分析】

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(1)乱猜即每题独立、对与错概率 $\frac{1}{4}$ 与 $\frac{3}{4}$，“恰对 2 道”用二项分布. (2)“至少一道”正面要分四类，对立面”全部答错”只有一种情形，用 $1-P(\text{全错})$ 最快.

✅【答案】

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(1)$\frac{27}{128}$；(2)$\frac{175}{256}$

✍【详细解析】

Abstract

设”答对第 $i$ 道题”为事件 $A_i$（$i=1,2,3,4$）．任意选答时每道题答对的概率为 $\frac{1}{4}$，且各题相互独立. (1)恰有两道题答对的概率为$P_1={\mathrm{C}}_4^2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=6\times \frac{1}{16}\times \frac{9}{16}=\frac{54}{256}=\frac{27}{128}$. (2)“至少答对一道”的对立事件是”全部答错”，其概率为 ${\left(\frac{3}{4}\right)}^4=\frac{81}{256}$．故所求概率为 $P_2=1-\frac{81}{256}=\frac{175}{256}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验与对立事件

核心方法：“恰对 $k$ 道”用二项分布；“至少一道”用 $1-P(\text{全错})$

避坑指南：每题答对概率 $\frac{1}{4}$、答错 $\frac{3}{4}$；“至少”问题正面分类四支繁琐，对立面只有”全错”一种情形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复试验概率，概率解答题的标准型

结论推广：$n$ 次独立重复试验：$P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

方法推广：“至少”型一律先想对立面；每题概率从题设读出，别默认 $\frac{1}{2}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-18 解-古典概型
• 2008-重庆卷理-18
• 2007-重庆卷理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望