2007-北京卷文-18 解-古典概型计数

本题导读

本题考查古典概型。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 某条公共汽车线路沿线共有 $11$ 个车站（包括起点站和终点站）．在起点站开出的一辆公共汽车上有 $6$ 位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （1）这 $6$ 位乘客在互不相同的车站下车的概率； （2）这 $6$ 位乘客中恰有 $3$ 人在终点站下车的概率．

🔍【思路分析】

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1. 除起点站外共 $10$ 个车站，每人等可能地在 $10$ 个站之一下车，总样本点数 $10^6$。
2. （1）互不相同即两两不同站：${\mathrm{A}}_{10}^6$ 种。
3. （2）恰 $3$ 人在终点站：选人 ${\mathrm{C}}_6^3$，其余 $3$ 人在其余 $9$ 站任下 $9^3$。

✅【答案】

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（1）$P=\frac{189}{1250}=0.1512$；（2）$P=\frac{729}{50000}=0.01458$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 每位乘客在除起点站外的 $10$ 个车站中等可能地下车，$6$ 位乘客的下车站总共有 $10^6$ 种等可能结果． 互不相同的车站下车：第一人有 $10$ 种、第二人 $9$ 种、……、第六人 $5$ 种，即 ${\mathrm{A}}_{10}^6$ 种．故 $P=\frac{{\mathrm{A}}_{10}^6}{10^6}=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5}{10^6}=\frac{151200}{1000000}=0.1512=\frac{189}{1250}.$ （2） 恰有 $3$ 人在终点站下车：从 $6$ 人中选 $3$ 人 ${\mathrm{C}}_6^3$ 种，其余 $3$ 人在其余 $9$ 个车站中任选下车，$9^3$ 种．故 $P=\frac{{\mathrm{C}}_6^3\times 9^3}{10^6}=\frac{20\times 729}{10^6}=\frac{14580}{1000000}=0.01458=\frac{729}{50000}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型计数

核心方法：总数 10⁶，有利数排列组合

避坑指南：互不相同用 A¹⁰₆（有序），恰 3 人终点站用 C³₆·9³；两问模型不同

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型 P=有利/总

结论推广：每个乘客独立等可能在 10 站下车

方法推广：先确定样本空间是否等可能，再数有利事件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2008-浙江卷文-19 解-摸球古典概型
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