2008-重庆卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的基本代数运算以及虚数单位 $\text{i}$ 的周期性性质。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 复数 $1+\frac{2}{{\text{i}}^3}=$ ()

A. $1+2\text{i}$　　　　　　B. $1-2\text{i}$　　　　　　C. $-1$　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 利用虚数单位的性质化简分母中的 ${\text{i}}^3$。
2. 进行复数除法运算，分子分母同乘以 $\text{i}$ 进行化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\text{i}}^3=-\text{i}$， 所以 $1+\frac{2}{{\text{i}}^3}=1+\frac{2}{-\text{i}}=1-\frac{2\text{i}}{-\text{i}\cdot \text{i}}=1-\frac{2\text{i}}{1}=1+2\text{i}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位的幂次周期性 ${\text{i}}^{4n+3}=-\text{i}$。
2. 核心方法：分母实数化。
3. 避坑指南：注意分母化简时负号的变化，避免符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中复数概念与四则运算的基础习题。
2. 结论推广：对于任意非零实数 $a$，$1+\frac{a}{{\text{i}}^3}=1+a\text{i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数