2008-重庆卷理-06 单-函数

本题导读

本题考查抽象函数的性质分析。通过构造新函数，将非齐次的柯西型函数方程转化为标准的奇函数模型。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 若定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足：对任意 $x_1,x_2\in \mathbf{R}$ 有 $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)+1$，则下列说法一定正确的是 ()

A. $f(x)$ 为奇函数　　　　　　　　　　　　　B. $f(x)$ 为偶函数

C. $f(x)+1$ 为奇函数　　　　　　　　　　　　D. $f(x)+1$ 为偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察题干方程的形式，其类似于柯西函数方程 $g(x_1+x_2)=g(x_1)+g(x_2)$ 的变形。
2. 构造新函数 $g(x)=f(x)+1$，将已知关系式代入转化为 $g(x)$ 的关系式，进而判定其奇偶性。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=f(x)+1$，则 $f(x)=g(x)-1$。 将 $f(x)$ 代入原方程 $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)+1$ 中，得： $g(x_1+x_2)-1=[g(x_1)-1]+[g(x_2)-1]+1$ 化简得： $g(x_1+x_2)=g(x_1)+g(x_2)$ 令 $x_1=0,x_2=0$，得 $g(0)=2g(0)\Rightarrow g(0)=0$。 令 $x_1=x,x_2=-x$，得 $g(0)=g(x)+g(-x)\Rightarrow 0=g(x)+g(-x)\Rightarrow g(-x)=-g(x)$。 由此可知 $g(x)$ 为奇函数，即 $f(x)+1$ 为奇函数。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的函数方程化简与函数奇偶性的判定。
2. 核心方法：整体构造法与特殊值赋值法。
3. 避坑指南：直接对 $f(x)$ 赋特殊值（如令 $x_1=x,x_2=-x$）虽能得到 $f(0)=-1$ 和 $f(x)+f(-x)=-2$，但不如构造新函数整体平移性质来得直观清晰。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自近代数学中的柯西函数方程（Cauchy’s functional equation）的平移变换形式。
2. 结论推广：若 $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)+k$，则 $f(x)+k$ 必为奇函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项