2008-重庆卷理-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的核心计算，涉及通项公式与前 $n$ 项和公式的内在关联，利用等差中项性质可大幅精简运算。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{12}=-8$，$S_9=-9$，则 $S_{16}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据等差数列求和公式性质，由 $S_9=-9$ 直接推导出其中项 $a_5$ 的值。
2. 结合已知条件 $a_{12}=-8$，利用通项公式求出公差 $d$ 与首项 $a_1$。
3. 将 $a_1$ 和 $d$ 代入 $S_{16}$ 的求和公式中计算最终结果。

✅【答案】

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$-72$

✍【详细解析】

Abstract

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，由前 $n$ 项和公式可知： $S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5=-9\Rightarrow a_5=-1$ 又已知 $a_{12}=-8$，根据通项公式有： $a_{12}-a_5=7d\Rightarrow -8-(-1)=7d\Rightarrow 7d=-7\Rightarrow d=-1$ 由此可得首项： $a_1=a_5-4d=-1-4(-1)=3$ 计算前 16 项和 $S_{16}$： $S_{16}=16a_1+\frac{16\times 15}{2}d=16\times 3+120\times (-1)=48-120=-72$ 故答案为 $-72$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列中 $S_n=n\cdot a_{\frac{n+1}{2}}$ （$n$ 为奇数）的对称中项性质。
2. 核心方法：基本量法（知二求一）。
3. 避坑指南：公差 $d$ 的符号容易搞错，从 $a_5=-1$ 到 $a_{12}=-8$ 数列递减，公差必为负数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：经典的等差数列多元素方程组求解习题。
2. 结论推广：在等差数列中，已知 $a_m$ 与 $S_{2m-5}$，可快速确定基本量空间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和