2008-重庆卷理-15 填-圆

本题导读

本题考查平面解析几何中直线与圆的位置关系。利用平面几何中“弦的中点与圆心连线垂直于弦”这一几何性质（垂径定理），可避免复杂的联立方程运算。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 直线 $l$ 与圆 $x^2+y^2+2x-4y+a=0(a<3)$ 相交于两点 $A,B$，弦 $AB$ 的中点为 $(0,1)$，则直线 $l$ 的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的一般方程通过配方法化为标准方程，找出圆心坐标。
2. 设弦 $AB$ 的中点为 $P(0,1)$，根据垂径定理，圆心与中点的连线 $MP$ 必垂直于直线 $l$。
3. 计算直线 $MP$ 的斜率，进而得到直线 $l$ 的斜率，最后用点斜式写出直线方程。

✅【答案】

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$y=x+1$

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程配方得： $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=5-a$ 由此可知圆心坐标为 $M(-1,2)$。 记弦 $AB$ 的中点为 $P(0,1)$。 根据垂径定理，圆心与弦中点的连线垂直于该弦，即 $MP\perp l$。 计算直线 $MP$ 的斜率： $k_{MP}=\frac{1-2}{0-(-1)}=-1$ 因为 $l\perp MP$，所以直线 $l$ 的斜率 $k_l=-\frac{1}{k_{MP}}=1$。 由于直线 $l$ 经过中点 $P(0,1)$，由点斜式方程得： $y-1=1\cdot (x-0)\Rightarrow x-y+1=0$ 故答案为 $x-y+1=0$（或 $y=x+1$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂径定理的解析几何表述（$k_{\text{弦}}\cdot k_{\text{心中}}=-1$）。
2. 核心方法：几何法求隐曲线/直线参数。
3. 避坑指南：此题给出的条件 $a<3$ 是为了确保圆的半径平方 $5-a>2$，进而保证点 $(0,1)$ 在圆的内部，解题过程中无需对 $a$ 进行深度代数求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自解析几何中关于圆的弦长与中点弦性质的基础常规习题。
2. 结论推广：对于圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$，以 $P(x_1,y_1)$ 为中点的弦所在的直线方程为 $(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$y=x+1$

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷理-05 填-圆的一般方程
• 2011-四川卷文-03 单-圆的一般方程
• 2016-全国卷II理-04 单-圆的一般方程