2008-重庆卷理-18 解-分布列

本题导读

本题考查概率论中离散型随机变量的分布列与数学期望。核心在于理清比赛中止的规则，利用对称性将复杂的具体对阵转化为“连胜”与“中断”的独立状态链进行求解。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空. 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止. 设在每局中参赛者胜负的概率均为 $\frac{1}{2}$，且各局胜负相互独立. 求：

(1) 打满 3 局比赛还未停止的概率；

(2) 比赛停止时已打局数 $\xi$ 的分布列与期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

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1. 针对于每局比赛，可以抽象为两种状态：前一局的获胜者继续获胜（记为连胜状态 $S$），或者轮空者挑战成功（记为更迭状态 $C$）。由于每局中每人胜负概率均为 $\frac{1}{2}$，故 $S$ 和 $C$ 的发生概率均为 $\frac{1}{2}$。
2. 第(1)问，“打满3局比赛还未停止”意味着第2局和第3局均未出现连胜，即连续两次发生状态 $C$。
3. 第(2)问，写出已打局数 $\xi$ 的所有可能取值（2, 3, 4, 5, 6），利用概率乘法原理依次求出各状态的概率，进而求得期望。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设每一局中前一局的获胜者在下一局继续获胜的概率为 $\frac{1}{2}$，挑战者（原轮空者）获胜的概率也为 $\frac{1}{2}$。 打满 3 局比赛还未停止，意味着第 2 局和第 3 局均由挑战者获胜。 根据独立事件的概率乘法公式，所求概率为： $P=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

(2) 随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 2, 3, 4, 5, 6。 当 $\xi =2$ 时，说明第 2 局由第 1 局的获胜者胜出，比赛停止，其概率为： $P(\xi =2)=\frac{1}{2}$ 当 $\xi =3$ 时，说明第 2 局由挑战者胜出，第 3 局该挑战者继续胜出，比赛停止，其概率为： $P(\xi =3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ 当 $\xi =4$ 时，说明第 2、3 局均由挑战者胜出，第 4 局该挑战者继续胜出，比赛停止，其概率为： $P(\xi =4)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$ 当 $\xi =5$ 时，说明第 2、3、4 局均由挑战者胜出，第 5 局该挑战者继续胜出，比赛停止，其概率为： $P(\xi =5)={\left(\frac{1}{2}\right)}^3\times \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$ 当 $\xi =6$ 时，说明第 2、3、4、5 局均由挑战者胜出，此时由于已达 6 局上限，不论第 6 局谁胜出比赛均停止，其概率为： $P(\xi =6)={\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$

所以，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	2	3	4	5	6
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

数学期望为： $E\xi =2\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{4}+4\times \frac{1}{8}+5\times \frac{1}{16}+6\times \frac{1}{16}$ $E\xi =1+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{5}{16}+\frac{6}{16}=\frac{16+12+8+5+6}{16}=\frac{47}{16}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列的性质、数学期望的定义、条件概率状态链的退化。
2. 核心方法：状态转移简记法。由于甲、乙、丙三人对称，解题时无需具体指明哪一局谁对阵谁，只需关注“连胜”与“易主”的逻辑链。
3. 避坑指南：极易在 $\xi =6$ 的临界点出错。根据规则“打满6局时停止”，只要前5局没有停止，第6局无论结果如何都必定迫使比赛中止。因此 $P(\xi =6)$ 的计算中不需要再给最后一局乘以 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由概率论中经典的马尔可夫链（Markov Chain）状态吸收壁问题弱化而来的有界终止模型。
2. 结论推广：若取消“打满6局”的上限，令比赛一直进行到某人连胜两局为止，则总局数 $\eta$ 的期望满足： $E\eta ={\sum }_{k=2}^{\infty }k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}=3$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率