2008-陕西卷文-02 单-集合交补运算

本题导读

$A\cap B=\{3\}$，${\complement }_U(A\cap B)=\{1,2,4,5\}$. （也可用德·摩根定律：${\complement }_U(A\cap B)={\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$.）

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，集合 $A=\{1,3\}$，$B=\{3,4,5\}$，则集合 ${\complement }_U(A\cap B)=$()

A. $\{3\}$　　　　B. $\{4,5\}$　　　　C. $\{3,4,5\}$　　　　D. $\{1,2,4,5\}$

🔍【思路分析】

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先交后补两步走：$A$ 与 $B$ 的公共元素只有 $3$，从全集 $\{1,2,3,4,5\}$ 中挖去 $3$ 即得.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $A=\{1,3\}$，$B=\{3,4,5\}$，得 $A\cap B=\{3\}$．又 $U=\{1,2,3,4,5\}$，所以 ${\complement }_U(A\cap B)=\{1,2,4,5\}$．故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交集与补集运算

核心方法：先交后补：$A\cap B$ 取公共元素，${\complement }_U(\cdot )$ 在全集内取其余

避坑指南：运算顺序是先求 $A\cap B$ 再取补，别被”先分别取补”的选项带偏；元素 $3$ 在 $A\cap B$ 中，补集里必须去掉

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材集合运算基本题型，德·摩根定律的背景题

结论推广：对任意两集合恒有 ${\complement }_U(A\cap B)={\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$、${\complement }_U(A\cup B)={\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B$

方法推广：交补混合运算先用韦恩图定型，再用元素列举核对；两条德·摩根定律互为对偶，记住一条可推另一条

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2010-陕西卷理-01
• 2007-陕西卷理-02 单-集合补集运算
• 2016-全国卷III文-01 单-集合