2008-陕西卷文-05 单-直线与圆相切

本题导读

$\frac{|m+\sqrt{3}|}{2}=\sqrt{3}$，即 $m+\sqrt{3}=\pm 2\sqrt{3}$，$m=\sqrt{3}$ 或 $m=-3\sqrt{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 直线 $\sqrt{3}x-y+m=0$ 与圆 $x^2+y^2-2x-2=0$ 相切，则实数 $m$ 等于()

A. $-3\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$　　　B. $-3\sqrt{3}$ 或 $3\sqrt{3}$　　　C. $\sqrt{3}$ 或 $-\sqrt{3}$　　　D. $-\sqrt{3}$ 或 $3\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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相切 $\iff$ 圆心到直线距离 $=$ 半径；配方得圆心与半径，代入距离公式解绝对值方程.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-2x-2=0$ 配方得 $(x-1{)}^2+y^2=3$，圆心 $(1,0)$，半径 $r=\sqrt{3}$．由相切条件，$\frac{|\sqrt{3}\times 1-0+m|}{\sqrt{3+1}}=\sqrt{3}$，即 $\frac{|m+\sqrt{3}|}{2}=\sqrt{3}$，$|m+\sqrt{3}|=2\sqrt{3}$．所以 $m+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ 或 $m+\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，解得 $m=\sqrt{3}$ 或 $m=-3\sqrt{3}$．故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相切的参数求值

核心方法：圆化标准式定圆心与半径，用圆心到切线距离等于半径 $d=r$ 列方程

避坑指南：圆 $x^2+y^2-2x-2=0$ 配方后半径平方是 $1+2=3$，常数项别漏加；距离公式分母是 $\sqrt{3+1}=2$，带绝对值的方程有两解，参数取值要成对写出

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”直线与圆的位置关系”一节，$d$ 与 $r$ 比较的三类结果

结论推广：直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$ 相切$\iff \frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r$

方法推广：含参直线与圆相切问题统一走”圆心到直线距离 $=$ 半径”；解出的参数取值要成对给出并检验

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-05
• 2006-陕西卷理-05 单-直线与圆相切的充要条件
• 2015-陕西卷理-20 解-椭圆性质