2007-山东卷文-16 填-两曲线公切圆最小半径

本题导读

本题考查圆的方程，以及直线与圆相切。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 与直线 $x+y-2=0$ 和曲线 $x^2+y^2-12x-12y+54=0$ 都相切的半径最小的圆的标准方程是　　.

🔍【思路分析】

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1. 曲线即 $(x-6{)}^2+(y-6{)}^2=18$，圆心 $C(6,6)$，$R=3\sqrt{2}$；$C$ 到直线距离 $\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}>R$，直线在大圆外。
2. 所求圆心在 $C$ 向直线的垂线 $y=x$ 上，设 $(t,t)$。
3. 到直线距离 $r_1=\frac{2t-2}{\sqrt{2}}$；与大圆外切（在 $C$ 与垂足之间一侧）$r_2=d-R=\sqrt{2}(6-t)-3\sqrt{2}$。
4. $r_1=r_2$：$\sqrt{2}(t-1)=\sqrt{2}(3-t)\Rightarrow t=2$，$r=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(x-2)^2+(y-2)^2=2

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $x^2+y^2-12x-12y+54=0$ 化为 $(x-6{)}^2+(y-6{)}^2=18$，圆心 $C(6,6)$，半径 $R=3\sqrt{2}$． $C$ 到直线 $x+y-2=0$ 的距离为 $\frac{|6+6-2|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}>R$，直线与大圆相离． 过 $C$ 作直线的垂线，垂足为 $(1,1)$，垂线即直线 $y=x$；与两曲线都相切的圆，圆心必在 $y=x$ 上，设为 $P(t,t)$（$1<t<6$，介于垂足与大圆圆心之间一侧）． $P$ 到直线的距离 $r_1=\frac{2t-2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(t-1)$； $P$ 与大圆外切：$r_2=|PC|-R=\sqrt{2}(6-t)-3\sqrt{2}=\sqrt{2}(3-t)$． 令 $r_1=r_2$：$\sqrt{2}(t-1)=\sqrt{2}(3-t)$，得 $t=2$，$r=\sqrt{2}$． 由 $r_1$ 随 $t$ 增大而增大、$r_2$ 随 $t$ 增大而减小，此交点即”同时相切”中半径最小者． 故所求圆的圆心为 $(2,2)$、半径 $\sqrt{2}$，标准方程为 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两曲线公切圆最小半径

核心方法：圆心在连心线（公法线）$y=x$ 上：$r_1$ 增 $r_2$ 减，交点即最小

避坑指南：两圆是外切不是内切（$d=4\sqrt{2}>R=3\sqrt{2}$）；直线在大圆外先判断位置关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两曲线公切圆最小半径，解析几何压轴填空

结论推广：圆心在两曲线连心线（公法线）上，$r_1$ 增 $r_2$ 减的交点最小

方法推广：公切圆问题：定圆心轨迹（法线）、列两个相切条件、解方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2008-山东卷文-11 单-圆与两线相切定方程
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2010-天津卷文-14 填-圆的方程相切
• 2008-陕西卷文-05 单-直线与圆相切