2008-陕西卷文-21 解-抛物线切线与向量垂直

本题导读

(1)$N$ 的横坐标为 $\frac{k}{4}$，切线斜率 $4\times \frac{k}{4}=k=k_{AB}$，平行；(2)$x_A{x}_B=-1$，$d^2=p^2+1$，$\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}=3d^2(1-4p^2)$，为零当且仅当 $p=\pm \frac{1}{2}$，即 $k=4p=\pm 2$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 已知抛物线 $C:y=2x^2$，直线 $y=kx+2$ 交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，$M$ 是线段 $AB$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$．

(1)证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $AB$ 平行；

(2)是否存在实数 $k$ 使 $\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}=0$．若存在，求 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

🔍【思路分析】

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(1)中点横坐标由韦达定理给出，抛物线 $y=2x^2$ 的导数 $y^{\prime }=4x$ 是切线斜率的来源. (2)$A$、$B$ 在抛物线上，纵坐标用横坐标表示；对称元 $p$、$d$ 把 $x_A{x}_B=p^2-d^2=-1$ 一次用足，数量积整理成 $d^2$ 与 $p$ 的函数；解出后回验判别式与 $d\ne 0$.

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)存在，$k=2$ 或 $k=-2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设 $A$，$B$ 的横坐标分别为 $x_A$，$x_B$．由 $\{\begin{array}{l}y=2x^2,\\ y=kx+2\end{array}$，得 $2x^2-kx-2=0$，由韦达定理 $x_A+x_B=\frac{k}{2}$．因为 $M$ 是 $AB$ 的中点，所以 $M$ 的横坐标为 $\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{k}{4}$，故 $N$ 的横坐标为 $\frac{k}{4}$．抛物线 $y=2x^2$ 在横坐标为 $x$ 的点处的切线斜率为 $y^{\prime }=4x$，所以点 $N$ 处切线的斜率为 $4\times \frac{k}{4}=k$，而直线 $AB$ 的斜率也是 $k$，因此抛物线在点 $N$ 处的切线与 $AB$ 平行. (2)令 $p=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{k}{4}$，$d=\frac{x_A-x_B}{2}$，则 $x_A=p+d$，$x_B=p-d$．由韦达定理 $x_A{x}_B=\frac{-2}{2}=-1$，所以 $p^2-d^2=-1$，即 $d^2=p^2+1$．又 $N=\left(p,2p^2\right)$，且 $A$，$B$ 在抛物线上，$y_A=2x_A^2$，$y_B=2x_B^2$，故 $\overrightarrow{NA}=(d,4pd+2d^2)$，$\overrightarrow{NB}=(-d,-4pd+2d^2)$．于是 $\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}=-d^2+(4pd+2d^2)(-4pd+2d^2)=-d^2+4d^4-16p^2{d}^2=d^2\left(4d^2-16p^2-1\right)=3d^2(1-4p^2)$．因为 $A$，$B$ 为两个不同的交点，所以 $d\ne 0$．当且仅当 $p^2=\frac{1}{4}$，即 $p=\pm \frac{1}{2}$ 时上式为 $0$，此时 $k=4p=\pm 2$．对这两个值，交点方程 $2x^2-kx-2=0$ 的判别式 $\Delta =k^2+16>0$，确有两个交点．故存在满足条件的实数 $k$，其值为 $2$ 或 $-2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线切线与向量垂直的联立

核心方法：韦达定理定中点横坐标，导数 $y^{\prime }=4x$ 给切线斜率；设 $p=\frac{x_A+x_B}{2}$、$d=\frac{x_A-x_B}{2}$ 化简数量积

避坑指南：$x_A{x}_B=\frac{-2}{2}=-1$ 别漏二次项系数 $2$；$A$、$B$ 是不同交点要求 $d\ne 0$，解出 $p$ 后须回验判别式大于零才收 $k=\pm 2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材抛物线性质与导数几何意义的交汇

结论推广：抛物线 $y=a{x}^2$ 在横坐标 $x_0$ 处的切线斜率为 $2a{x}_0$；弦的中点横坐标由韦达定理直接给出

方法推广：圆锥曲线与向量数量积问题，设 $p=\frac{x_A+x_B}{2}$、$d=\frac{x_A-x_B}{2}$ 能把 $x_A{x}_B=p^2-d^2$ 一次用足；解出参数后代回判别式检验

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-21 解-曲线的切线方程
• 2012-陕西卷理-21 解-导数与零点
• 2008-陕西卷理-21