2008-陕西卷理-01 单-复数

本题导读

本题主要考查正弦定理或余弦定理在解三角形中的基本应用。已知三角形的两边及其一边的对角，求第三边，属于常规的解三角形问题，直接运用余弦定理列方程求解最为简便。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.若 $c=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}$，$B=120^{\circ }$，则 $a$ 等于 ()

A. $\sqrt{6}$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：已知 $b,c,B$，要求 $a$，在这一组已知量中，角 $B$ 是边 $b$ 的对角，直接适用余弦定理公式 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
2. 第二步逻辑：将已知数值代入余弦定理公式，构建关于 $a$ 的一元二次方程，求解后根据三角形边长大于 0 的几何实际对根进行合理取舍。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，代入已知数据得： $(\sqrt{6}{)}^2=a^2+(\sqrt{2}{)}^2-2\cdot a\cdot \sqrt{2}\cdot \cos 120^{\circ }$ 由于 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，代入化简得： $6=a^2+2-2\sqrt{2}a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)⟹a^2+\sqrt{2}a-4=0$ 因式分解得：$(a+2\sqrt{2})(a-\sqrt{2})=0$。 解得 $a=\sqrt{2}$ 或 $a=-2\sqrt{2}$（舍去负值）。 所以 $a=\sqrt{2}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的基本构造与计算。
2. 核心方法：方程思想。将未知的边长作为未知数，利用余弦定理建立二次方程。
3. 避坑指南：

• 钝角的余弦值 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 符号易错，负负得正后中间项应为 $+\sqrt{2}a$。
• 解出一元二次方程后，切记边长必为正数，必须舍去负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查了解三角形板块中最核心的工具——余弦定理。它体现了由“边角边”或“边边角”求解三角形其他元素的规范数理流程。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若 $b=\sqrt{6}$，且 $B=120^{\circ }$，则由大边对大角可知，其余两个角 $A,C$ 必为锐角。当解得 $a=\sqrt{2}=c$ 时，说明该三角形实际上是一个顶角为 $120^{\circ }$ 的等腰三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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