2008-陕西卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查集合的基本运算以及集合中元素的确定。首先需要求解一元二次方程以确定集合 $A$，进而通过对应关系求出集合 $B$，最后完成集合的并集与补集运算。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，集合 $A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|x=2a,a\in A\}$，则集合 ${\complement }_U(A\cup B)$ 中元素的个数为 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：解一元二次方程 $x^2-3x+2=0$ 求得集合 $A$ 的元素。
2. 第二步逻辑：将集合 $A$ 中的元素逐个代入表达式 $x=2a$ 得到集合 $B$。再依次求出并集 $A\cup B$ 以及补集 ${\complement }_U(A\cup B)$，数出元素个数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-3x+2=0$ 解得 $x=1$ 或 $x=2$， 所以 $A=\{1,2\}$。 因为 $B=\{x|x=2a,a\in A\}$， 当 $a=1$ 时，$x=2$；当 $a=2$ 时，$x=4$， 所以 $B=\{2,4\}$。 则 $A\cup B=\{1,2,4\}$。 又全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$， 所以 ${\complement }_U(A\cup B)=\{3,5\}$。 其元素个数为 2。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的并集与补集定义、新定义集合元素的生成。
2. 核心方法：列举法。对于有限集，将所有元素直观列举出来最不易出错。
3. 避坑指南：求并集 $A\cup B$ 时要注意集合元素的互异性，重复的元素 $2$ 只能算作一个；最后要求的是元素的个数，而不是求补集集合本身，看清问题所求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是典型的高考集合基础题，主要依托一元二次方程的根来构造集合，旨在考查对集合三大特性（确定性、互异性、无序性）的理解。
2. 结论推广：若将集合 $B$ 的生成规则推广为 $B=\{x|x=f(a),a\in A\}$，解决此类问题的通用步骤依然是：先解出基本集，再映射出派生集，最后进行布尔运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参
• 2009-上海卷理-02 填-集合
• 2009-上海卷理-16 单-集合