2008-陕西卷理-17 解-三角函数

本题导读

本题考查三角恒等变换以及正弦型函数的性质。第一问通过二倍角公式与辅助角公式将解析式化简，进而求出周期与最值；第二问通过解析式变换与诱导公式，利用奇偶性定义进行判定。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}-2\sqrt{3}{\sin }^2\frac{x}{4}+\sqrt{3}$.

(1)求函数 $f(x)$ 的最小正周期及最值；

(2)令 $g(x)=f\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$，判断函数 $g(x)$ 的奇偶性，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 和 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ 降幂扩角，再利用辅助角公式化为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式，直接求出周期与最值。
2. 第二问：利用“自变量替换”求出 $g(x)$ 的解析式，利用诱导公式化简后，通过检验 $g(-x)$ 与 $g(x)$ 的关系判定奇偶性。

✅【答案】

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（1）利用降幂公式，得𝑓(𝑥)=sin𝑥2−√3(1−cos𝑥2)+√3=sin𝑥

✍【详细解析】

Abstract

(1)由二倍角公式进行化简： $f(x)=\sin \frac{x}{2}+\sqrt{3}\left(1-2{\sin }^2\frac{x}{4}\right)=\sin \frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}$ 利用辅助角公式： $f(x)=2\left(\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{x}{2}\right)=2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$ 所以，函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$。 因为 $-1\le \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$， 所以，函数 $f(x)$ 的最大值为 $2$，最小值为 $-2$。

(2)函数 $g(x)$ 为偶函数。理由如下： 由题意得： $g(x)=f\left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left[\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\pi }{3}\right]=2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{2}\right)$ 利用诱导公式化简得：$g(x)=2\cos \frac{x}{2}$。 该函数的定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。 因为 $g(-x)=2\cos \left(-\frac{x}{2}\right)=2\cos \frac{x}{2}=g(x)$， 所以，函数 $g(x)$ 为偶函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换公式（二倍角公式、辅助角公式）、正弦型函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$、奇偶性定义。
2. 核心方法：整体代入法（平移变换）、诱导公式化简。
3. 避坑指南：在求 $g(x)$ 的解析式时，极易错误地将平移量直接加在整体角上（误写为 $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}$），正确的做法应当是只对自变量 $x$ 进行替换，即 $x\to x+\frac{\pi }{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于教材中“三角恒等变换”与“三角函数的图象与性质”交汇处的经典大题模型，是高考解答题中考查三角函数基本功的典型代表。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)=a\sin \omega x+b\cos \omega x$ 的函数，若化简为 $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\phi )$，当向左平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 个单位时，新函数 $g(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+2\phi )$；当向左平移 $\frac{\frac{\pi }{2}-\phi }{\omega }$ 个单位时，新函数将化为余弦型函数 $\sqrt{a^2+b^2}\cos \omega x$，此时必为偶函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数