2008-陕西卷理-21 解-导数

本题导读

本题考查导数在研究函数极值中的核心应用。第一问利用极值点与导函数零点的对应关系，结合韦达定理求出另一个极值点；第二问需要根据参数范围准确区分极大值与极小值，构建关于参数的不等式进行求解。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{kx+1}{x^2+c}$（$c>0$ 且 $c\ne 1$，$k\in \mathbf{R}$）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 $x=-c$.

(1)求函数 $f(x)$ 的另一个极值点；

(2)求函数 $f(x)$ 的极大值 $M$ 和极小值 $m$，并求 $M-m\ge 1$ 时 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求出导函数 $f^{\prime }(x)$，极值点对应导函数分子方程 $-k{x}^2-2x+kc=0$ 的根。利用已知根 $x_1=-c$ 以及韦达定理（两根之积），可直接求得另一个根。
2. 第二问：由 $x=-c$ 是方程的根求出 $k$ 与 $c$ 的关系，进而在不同 $k$ 的符号下讨论导函数符号变化，区分出极大值 $M$ 与极小值 $m$ 的具体表达式。最后通过 $|M-m|\ge 1$ 建立关于 $k$ 的不等式求解。

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$k$ 的取值范围是 $(-\infty ,-2)\cup [\sqrt{2},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：由题意，对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{k(x^2+c)-2x(kx+1)}{(x^2+c{)}^2}=\frac{-k{x}^2-2x+kc}{(x^2+c{)}^2}$ 因为 $f(x)$ 恰有一个极大值点和一个极小值点， 所以命题等价于分子方程 $-k{x}^2-2x+kc=0$ 有两个不相等的实数根，显然 $k\ne 0$。 设另一个极值点为 $x_2$，已知其中一个为 $x_1=-c$。 由韦达定理可知，两根之积 $x_1{x}_2=\frac{kc}{-k}=-c$， 即 $(-c)\cdot x_2=-c$。 因为 $c>0$，所以 $x_2=1$。 故函数 $f(x)$ 的另一个极值点为 $x=1$。

(2)解：因 $x=-c$ 是方程 $-k{x}^2-2x+kc=0$ 的根， 代入得 $-k{c}^2+2c+kc=0$，又 $c>0$，两边同除以 $c$ 得：$-kc+2+k=0⟹k=\frac{2}{c-1}$。 由 $c>0$ 且 $c\ne 1$ 可知，$k>0$ 或 $k<-2$。 下面分两种情况讨论： ① 当 $k>0$ 时， $c=1+\frac{2}{k}>1$，此时极值点 $-c<0<1$。 导函数分子 $g(x)=-k{x}^2-2x+kc$ 的图象开口向下， 当 $x\in (-\infty ,-c)\cup (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x\in (-c,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$。 故 $x=-c$ 为极小值点，$x=1$ 为极大值点。 此时 $M=f(1)=\frac{k+1}{1+c}=\frac{k}{2}$， $m=f(-c)=\frac{-kc+1}{c^2+c}=-\frac{k^2}{2(k+2)}$。

② 当 $k<-2$ 时， $0<c=1+\frac{2}{k}<1$，此时极值点仍满足 $-c<1$。 导函数分子 $g(x)$ 的图象开口向上， 当 $x\in (-c,1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x\in (-\infty ,-c)\cup (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$。 故 $x=-c$ 为极大值点，$x=1$ 为极小值点。 此时 $M=f(-c)=-\frac{k^2}{2(k+2)}$，$m=f(1)=\frac{k}{2}$。

无论是哪种情况，极值差恒为： $M-m=\left|\frac{k}{2}-\left(-\frac{k^2}{2(k+2)}\right)\right|=\left|\frac{k^2+k}{k+2}\right|$ 由 $M-m\ge 1$ 得 $\left|\frac{k^2+k}{k+2}\right|\ge 1$。

• 当 $k>0$ 时，$\frac{k^2+k}{k+2}\ge 1⟹k^2\ge 2⟹k\ge \sqrt{2}$；
• 当 $k<-2$ 时，$-\frac{k^2+k}{k+2}\ge 1⟹k^2+2k+2\ge 0$，该不等式对 $k<-2$ 恒成立。

综上所述，$k$ 的取值范围是 $(-\infty ,-2)\cup [\sqrt{2},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：商的求导法则、极值点与导数零点的关系、代数式恒等变形。
2. 核心方法：巧用韦达定理避免直接解复杂的含参根式；通过整体绝对值简化分类讨论带来的最值差运算。
3. 避坑指南：

• 第一问中，极易走入“强行求解出两根再做对比”的死胡同，利用韦达定理两根之积可以做到一秒破题；
• 第二问必须针对 $k$ 的正负进行函数单调性的完整论证，不能主观臆断 $x=1$ 永远对应极大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由高等数学中的有理分式函数极值性质改编而来，重点考查了曲线的极限趋势与极值点分布的代数关联。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)=\frac{kx+b}{x^2+c}$ ($c>0$) 的代数分式，若其存在两个极值点 $x_1,x_2$，则根据导数零点特征可知，$x_1\cdot x_2=-c$ 恒成立，即两极值点必然异号且积为定值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式