2009-上海卷理-09 填-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的定义与焦点三角形、向量垂直的坐标与几何意义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{P{F}_1}\perp \overrightarrow{P{F}_2}$．若 $\Delta P{F}_1{F}_2$ 的面积为 9，则 $b=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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• 方法一（快捷公式法）：直接利用椭圆焦点三角形面积的经典结论 $S_{\Delta P{F}_1{F}_2}=b^2\tan \frac{\theta }{2}$（其中 $\theta$ 为焦点顶角 $\angle F_{1}P{F}_2$）。由于向量垂直，顶角 $\theta =90^{\circ }$，代入直接求出 $b$。

• 方法二（常规定义法）：设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。由垂直得 $m^2+n^2=4c^2$，由面积得 $\frac{1}{2}mn=9$。结合椭圆定义 $m+n=2a$，通过完全平方公式构建 $a^2-c^2=b^2$ 的代数结构求解。

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

解析一（公式法）： 因为 $\overrightarrow{P{F}_1}\perp \overrightarrow{P{F}_2}$，所以 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。 由椭圆焦点三角形面积公式得： $S_{\Delta P{F}_1{F}_2}=b^2\tan \frac{\angle F_{1}P{F}_2}{2}$ 代入已知数据： $9=b^2\tan 45^{\circ }⟹9=b^2\times 1⟹b^2=9$ 因为 $b>0$，所以 $b=3$。

解析二（常规法）： 设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。由椭圆定义知：$m+n=2a$ ① 因为 $P{F}_1\perp P{F}_2$，由勾股定理知：$m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=4c^2$ ② 又直角 $\Delta P{F}_1{F}_2$ 的面积为 9，得：$\frac{1}{2}mn=9⟹mn=18$ ③ 将 ① 变形并结合 ③ 代入 ② 中： $4c^2=m^2+n^2=(m+n{)}^2-2mn=(2a{)}^2-2\times 18=4a^2-36$ 移项整理得： $4a^2-4c^2=36⟹a^2-c^2=9$ 根据椭圆基本几何性质 $b^2=a^2-c^2$，得 $b^2=9$。 因为 $b>0$，所以 $b=3$。 故填 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点三角形的几何特征；勾股定理与完全平方公式的消元匹配。

2. 核心方法：对于填空题，优先使用结论 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$ 可实现秒杀；若用定义法，注意利用 $(m+n{)}^2-2mn$ 整体构造 $a^2-c^2$。

3. 避坑指南：切忌盲目去求解 $m$ 和 $n$ 的具体长或者设点 $P$ 坐标去联立方程，那样会导致极为繁琐的无用代数计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是解析几何小题的常备经典模型。考查学生对“焦点三角形”这一核心微观结构的代数控制力。

2. 结论推广: 对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的直角焦点三角形，其对应面积则满足 $S=\frac{b^2}{\tan (\theta /2)}=b^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2012-四川卷理-15 填-椭圆与三角形
• 2012-安徽卷文-20 解-椭圆焦点三角形与面积