2009-上海卷理-20 解-函数模型

本题导读

本题考查分段函数模型下的函数单调性证明与对数运算。核心在于利用差分判定增加量的单调性，并通过对数运算反解参数。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 有时可用函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0.1+15\ln \frac{a}{a-x},& x⩽6,\\ \frac{x-4.4}{x-4},& x>6\end{array}$ 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 $x$ 表示某学科知识的学习次数（$x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），$f(x)$ 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 $a$ 与学科知识有关.

(1) 证明：当 $x⩾7$ 时，掌握程度的增加量 $f(x+1)-f(x)$ 总是下降；

(2) 根据经验，学科甲、乙、丙对应的 $a$ 的取值区间分别为 $(115,121]$，$(121,127]$，$(121,133]$. 当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 $85\%$，请确定相应的学科.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：当 $x⩾7$ 时，$x$ 与 $x+1$ 均大于 $6$，故 $f(x)=\frac{x-4.4}{x-4}=1-\frac{0.4}{x-4}$。设增加量 ${\Delta }_x=f(x+1)-f(x)$，求出 ${\Delta }_x$ 的表达式，再比较 ${\Delta }_{x+1}$ 与 ${\Delta }_x$ 的差，证明其恒为负。
2. 第二问：由 $f(6)=0.85$ 且 $6⩽6$，代入分段函数第一段得对数方程 $0.1+15\ln \frac{a}{a-6}=0.85$，反解出 $a$ 的近似值，再对照三个区间确定学科。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 学科乙、丙

✍【详细解析】

Abstract

(1) 第一问证明

当 $x⩾7$ 时，$x$ 和 $x+1$ 都大于 $6$，因此 $f(x)=\frac{x-4.4}{x-4}=1-\frac{0.4}{x-4}.$ 令 ${\Delta }_x=f(x+1)-f(x)$，则 ${\Delta }_x=\left(1-\frac{0.4}{x-3}\right)-\left(1-\frac{0.4}{x-4}\right)=\frac{0.4}{(x-4)(x-3)}.$ 于是 ${\Delta }_{x+1}-{\Delta }_x=\frac{0.4}{(x-3)(x-2)}-\frac{0.4}{(x-4)(x-3)}=-\frac{0.8}{(x-4)(x-3)(x-2)}<0.$ 所以当 $x⩾7$ 时，掌握程度的增加量总是下降。

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(2) 第二问求解

由题意 $f(6)=0.85$，且 $6⩽6$，故 $0.1+15\ln \frac{a}{a-6}=0.85,$ 即 $\ln \frac{a}{a-6}=\frac{1}{20},\frac{a}{a-6}=e^{1/20}.$ 解得 $a=\frac{6e^{1/20}}{e^{1/20}-1}=\frac{6}{1-e^{-1/20}}\approx \mathrm{123.025.}$ 因此 $a\in (121,127]\cap (121,133]$，相应的学科为乙、丙。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数在应用问题中的建模，利用差分判定数列（函数）单调性，对数方程的反解与近似计算。
2. 核心方法：

• 差分法：把“增加量总是下降”转化为 ${\Delta }_{x+1}-{\Delta }_x<0$，通分后由各因式符号直接判定。
• 对数反解：由 $15\ln \frac{a}{a-6}=0.75$ 逐步化简得 $a=\frac{6}{1-e^{-1/20}}$，再估算取值区间。

3. 避坑指南：

• 分段选择：$x=6$ 落在第一段（$x⩽6$），代入时必须选 $0.1+15\ln \frac{a}{a-x}$，不可误用第二段。
• 区间端点：$a\approx 123.025$ 同时落在 $(121,127]$ 与 $(121,133]$ 内，应取交集，学科为乙、丙两个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题以“学习次数—掌握程度”为背景，考查分段函数与对数函数的实际应用，属于新课标强调的“数学建模”素养导向的应用题。
2. 结论推广：对于形如 $f(x)=1-\frac{c}{x-m}$（$c>0$）的函数，其差分 ${\Delta }_x=\frac{c}{(x-m)(x-m-1)}$，且 ${\Delta }_x$ 关于 $x$ 单调递减，体现“边际效益递减”的普遍规律，可迁移到各类增长型应用题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性
• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值