2011-上海卷文-14 填-周期函数值域

本题导读

本题考查周期函数，以及函数的值域。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 设 $g(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上、以 $1$ 为周期的函数，若函数 $f(x)=x+g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的值域为 $[-2,5]$，则 $f(x)$ 在区间 $[0,3]$ 上的值域为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由周期性 $f(x+1)=f(x)+1$
2. 步骤2：三段值域整体平移合并

✅【答案】

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$[-2,7]$

✍【详细解析】

Abstract

$g$ 以 $1$ 为周期，故对任意 $x$：$f(x+1)=(x+1)+g(x+1)=x+1+g(x)=f(x)+1$。

于是 $f$ 在 $[1,2]$ 上的值域为 $[-2,5]+1=[-1,6]$，在 $[2,3]$ 上的值域为 $[-2,5]+2=[0,7]$。

三段合并：$[-2,7]$，即 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上的值域为 $[-2,7]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期性的传递；$f(x+T)=f(x)+c$ 型值域平移

核心方法：先建立 $f(x+1)=f(x)+1$，再把已知值域逐段平移

避坑指南：平移的是值域整体（$+1$、$+2$），不是只平移 $x$；最大值 $7$ 在 $[2,3]$ 段、最小值 $-2$ 在 $[0,1]$ 段，两端都取得到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：周期函数值域题与 2013-北京卷文-13、2012-江苏卷-13、2012-四川卷文-18 同族。

结论推广：推广：$f(x+T)=f(x)+c$ 时，$f$ 在 $[a+nT,a+(n+1)T]$ 上的值域为已知值域平移 $nc$；此类函数无周期但”拟周期”。

方法推广：抽象函数值域：先从定义式推出递推关系（$f(x+1)=f(x)+1$），再分段平移合并。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域
• 2012-江苏卷-13 填-二次函数值域与解集
• 2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域