2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0,+\infty )$ 上单调递减的是 ()

A. $y=x^{-2}$　　　　　B. $y=x^{-1}$　　　　　C. $y=x^2$　　　　　D. $y=x^{\frac{1}{3}}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：逐项检验：$x^{-2}$ 偶且在 $(0,+\infty )$ 递减

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$：定义域 $x\ne 0$ 关于原点对称，$f(-x)=f(x)$ 为偶函数；$x>0$ 时次数 $-2<0$，幂函数递减。A 符合。

B：$y=x^{-1}$ 是奇函数；C：$y=x^2$ 在 $(0,+\infty )$ 递增；D：$y=x^{\frac{1}{3}}$ 是奇函数。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：幂函数的奇偶性与单调性

核心方法：奇偶看定义域对称性与 $f(-x)=\pm f(x)$；单调看指数符号（$(0,+\infty )$ 上 $x^{\alpha }$：$\alpha <0$ 递减）

避坑指南：$y=x^{-1}$ 奇偶性易与 $x^{-2}$ 混；$y=x^{\frac{1}{3}}$ 定义域为 $\mathrm{R}$ 且是奇函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：偶函数与单调性题与 2011-新课标卷文-03、2013-北京卷文-03、2012-浙江卷文-16 同族。

结论推广：推广：幂函数 $y=x^{\alpha }$ 在 $(0,+\infty )$ 上：$\alpha >0$ 增、$\alpha <0$ 减；$\alpha$ 为偶数时偶、奇数（含既约分数分母为奇）时看具体定义域。

方法推广：幂函数小题：记牢 $x^{-1}$ 奇、$x^{-2}$ 偶、$x^{\frac{1}{3}}$ 奇三条，选项直接排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-03 单-偶函数与单调性
• 2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间
• 2012-浙江卷文-16 填-周期偶函数求值