2009-北京卷理-12 填-解三角形

本题导读

本题考查椭圆的第一定义、余弦定理解三角形，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{2}=1$ 的焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 在椭圆上. 若 $|P{F}_1|=4$，则 $|P{F}_2|=$ $\underline{}$; $\angle F_{1}P{F}_2$ 的大小为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：根据椭圆标准方程求出 $a^2=9⟹a=3$，由第一定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$ 直接减去已知长求得 $|P{F}_2|$。
2. 第二步：求出半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，在 $\Delta F_{1}P{F}_2$ 中已知三边长，利用余弦定理求出 $\cos \angle F_{1}P{F}_2$，进而确定角的大小。

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✍【详细解析】

Abstract

解：由椭圆方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{2}=1$ 可知： $a^2=9⟹a=3$， $b^2=2$。 根据椭圆的第一定义，有 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=6$。 因为已知 $|P{F}_1|=4$，所以： $|P{F}_2|=6-4=2$ 同时，焦距满足 $c^2=a^2-b^2=9-2=7⟹c=\sqrt{7}$。 所以 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{7}$。 在 $\Delta F_{1}P{F}_2$ 中，由余弦定理可得： $\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2-|F_1{F}_2{|}^2}{2|P{F}_1||P{F}_2|}=\frac{4^2+2^2-(2\sqrt{7}{)}^2}{2\times 4\times 2}=\frac{16+4-28}{16}=-\frac{1}{2}$ 因为 $\angle F_{1}P{F}_2\in [0,\pi ]$，所以 $\angle F_{1}P{F}_2=\frac{2\pi }{3}$ （或 $120^{\circ }$）。

填空答案：2； $\frac{2\pi }{3}$ （或 $120^{\circ }$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义式 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$；焦点三角形与平面三角公式的结合。
2. 核心方法：公式代入法。
3. 避坑指南：计算焦点距离时注意是 $2c$ 而不是 $c$；在求出余弦值为负数 $-\frac{1}{2}$ 时，应准确判断出该角为钝角 $\frac{2\pi }{3}$，不可粗心写成锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中椭圆几何性质及对角线、焦点弦、焦点三角形的综合基础训练题。
2. 结论推广：在椭圆中，焦点三角形 $F_{1}P{F}_2$ 的面积可由公式 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$ 快速求解（其中 $\theta =\angle F_{1}P{F}_2$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形