2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及两角和的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\frac{\cos A-2\cos C}{\cos B}=\frac{2c-a}{b}$.

(1) 求 $\frac{\sin C}{\sin A}$ 的值；

(2) 若 $\cos B=\frac{1}{4}$，$△ABC$ 的周长为 $5$，求 $b$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 边角互化后整理出 $\sin (A+B)=2\sin (B+C)$
2. 步骤2：(2) 由 $c=2a$ 与 $\cos B=\frac{1}{4}$ 得 $b=2a$
3. 步骤3：再用周长

✅【答案】

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(1) $\frac{\sin C}{\sin A}=2$

(2) $b=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 分式有意义要求 $\cos B\ne 0$。由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，右边 $\frac{2c-a}{b}=\frac{2\sin C-\sin A}{\sin B}$。

代入题设并去分母：$\sin B(\cos A-2\cos C)=\cos B(2\sin C-\sin A)$。

移项整理：$\sin B\cos A+\cos B\sin A=2(\sin B\cos C+\cos B\sin C)$，即 $\sin (A+B)=2\sin (B+C)$。

由 $A+B=\pi -C$，$B+C=\pi -A$，得 $\sin C=2\sin A$，故 $\frac{\sin C}{\sin A}=2$。

(2) 由 $\frac{\sin C}{\sin A}=2$ 及正弦定理得 $c=2a$。

由余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{5a^2-b^2}{4a^2}=\frac{1}{4}$，得 $b^2=4a^2$，$b=2a$。

周长 $a+b+c=a+2a+2a=5a=5$，故 $a=1$，$b=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理边角互化；和角公式；余弦定理与周长条件

核心方法：边化角统一成三角函数关系，凑出 $\sin (A+B)$、$\sin (B+C)$ 整体；第二问走”$c=2a$ + 余弦定理定 $b$“的代数链

避坑指南：两边同乘 $\sin B\cos B$ 时须说明 $\sin B\ne 0$、$\cos B\ne 0$；由 $\sin C=2\sin A$ 得 $c=2a$（正弦定理），不能直接写 $C=2A$（角与正弦不成正比）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形题与 2012-新课标卷文-17、2011-大纲卷文-18、2012-浙江卷文-18 同族。

结论推广：推广：形如 $\frac{\cos A-t\cos C}{\cos B}=\frac{tc-a}{b}$ 的条件，边角互化后总能整理为 $\sin (A+B)=t\sin (B+C)$ 型，即边成比例 $c:t$ 的关系。

方法推广：解三角形大题第一问：见”边比 = 角式比”先想正弦定理全替成角；见"$\sin B\cos A+\cos B\sin A$"立刻收成 $\sin (A+B)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形